186 II. Abschnitt. Neuntes Capitel. Projectiv.Verwandtschaft der Grundgebilde. 
2) Aus der eindeutigen Beziehung, welche zwischen den Ele 
menten der beiden Grundgebilde hergestellt wurde, folgt noch: 
,, Beschreibt ein Element des einen Grundgebildes ein einförmiges 
Grundgebilde, so beschreibt sein entsprechendes Element im anderen 
Grundgebilde ein zu diesem projectivisches einförmiges Grundgebilde.“ 
Es ergiebt sich auch leicht die Umkehrung des obigen Satzes: 
„Sind die Elemente zweier Grundgebilde der zweiten Stufe ein 
ander eindeutig zugeordnet, so müssen deren Parameter A t , l 2 , /L 3 
und k v k 2 , k 3 durch Gleichungen von der Form (1.) mit einander 
verknüpft sein.“ 
Es seien 
AiU 1 + A 2 Z7 2 +A 3 U 3 = 0 und \Y. X + k 2 V 2 + k,V 3 = 0 
die Gleichungen der beiden Grundgebilde. Da die Beziehung zwischen 
den U- und F-Elementen eine eindeutige sein soll, so müssen die 
Parameter A 1; A 2 , A 3 und k x , k 2 , k 3 durch zwei lineare Gleichungen 
mit einander verknüpft sein. Da aber jeder Geraden des einen eine 
Gerade des. anderen Grundgebildes entsprechen soll, so müssen die 
selben jede lineare Relation zwischen den Parametern des einen wieder 
in eine lineare Relation zwischen den Parametern des anderen Grund 
gebildes überführen. Die Gleichungen müssen somit nach den Be 
merkungen Eingangs dieses Paragraphen die Form (1.) besitzen. 
3) Die drei Yerwandtschaftsgleichungen sind von den Verhält 
nissen von acht ihrer Constanten zur neunten abhängig und sind 
daher mit diesen acht Verhältnissen gegeben. Nun liefern aber die 
Parameter jedes Paares entsprechender U- und V- Elemente zwei lineare 
Gleichungen zwischen diesen Constanten und desgleichen jedes Paar 
entsprechender Geraden. Denn ist z. B. einer Geraden des ersten 
Grundgebildes 
Ui == Ü2 = Es 
«1 «2 «3 
die Gerade 
Fl = Yt = V, 
ß, ß 2 ßs 
im zweiten Grundgebilde als entsprechende zugewiesen, so ist 
ßi ' ßi ■ ß, — -^n : A. 1 yl¿¿di: A7^3 jOi j. 
i i i 
Da also jedes Paar entsprechender Elemente der beiden Gruiidgebilde 
zwei lineare Relationen zwischen den Constanten der Verwandtschafts 
gleichungen herstellt, so ist die ganze Beziehung zwischen den beiden 
Gruudgebilden gegeben, sobald wir zu vier unabhängigen Ele 
menten des einen die entsprechenden Elemente des anderen Grund 
gebildes kennen. *