192 II. Abschnitt. Zehntes Capitel. Die Erzeugnisse projectiv. Grundgehilde. 
Grundgebilde zwei Strahlenbündel oder zwei ebene Systeme sind, in 
welchen also die beiden Gleichungen der Grundgebilde aus Punct- 
oder Ebenencoordinaten gebildet sind. 
Sind sie zwei Strahlenbündel, so genügen die Coordinateli des 
Durchschnittspunctes der Ebene des ersten Bündels, welche durch 
die Parameter A,, A 2 , A 3 bestimmt wird, mit der entsprechenden Ge 
raden im zweiten Bündel den vier Gleichungen 
A 1 U x -f— A 2 f7 2 -f- A3C/3 = 0 
CCiy Ay Q P"| , CC2v Ay Q P2 1 ^ №*¿1) X v = Q P*^ , 
V v y 
Diese vier Gleichungen können aber nur unter den Bedingungen be 
stehen, dafs die Determinante der Coefficienten von A,, A 2 , A 3 und 
q verschwindet, dafs also 
a \ 1 ? 
a \2 ; 
a i3} 
Vi 
a 21 , 
»22, 
» 23 , 
v 2 
a i\ 1 
» 32 , 
tt 33 > 
r 3 
u it 
u 2 , 
u 3 , 
0 
Es genügen somit die Coordinaten des Durchschnittspunctes jeder 
Ebene des ersten mit ihrer entsprechenden Geraden des zweiten 
Bündels dieser Gleichung. 
Durch genau dieselben Betrachtungen überzeugen wir uns, dais 
auch die Coordinaten des Durchschnittspunctes jeder Ebene des zweiten 
mit ihrer entsprechenden Geraden des ersten Bündels diese Gleichung 
befriedigen. 
Die Entwickelung dieser Determinante nach den Elementen der 
letzten Zeile und letzten Colonne, oder auch die Elimination der 
, cc 2 , » 3 oder ß x , ß 2 , ß a resp. aus den Gleichungen (7.) und (8.) 
oder (9.) und (10.) ergiebt für die Gleichung (11.) 
A2AihVi Uk = 0, 
ik 
wo die Summe alle Werte der i und h von 1 bis 3 umfafst. 
Die Gleichung (11.) ist nach den Coordinaten x x , x 2 , x Z} x 4 des 
Durchschnittspunctes irgend einer Ebene des einen mit der ent 
sprechenden Geraden des anderen Strahlenbündels von zweitem 
Gerade, und wir wollen deshalb den durch sie dargestellten geo 
metrischen Ort eine Fläche zweiter Ordnung nennen. 
Wir haben somit: Die Durchschnittspuncte der ent 
sprechenden Elemente zweier reciprokenStrahlenbündel 
erzeugen eine Fläche zweiter Ordnung. 
Dieselbe geht offenbar durch die Mittelpuncte der beiden Bündel, 
da für die Coordinaten des einen U t — U 2 = U 3 — 0, für die des