194 II. Abschnitt. Zehntes Capitel. Die Erzeugnisse projetiv, Gruudgebilde. 
/V* /Y* ZV* 
«A/1 tA/rt «A/O 
F 3 
0 
0. 
/1 «^2 •"i 
Die Vergleichung dieser Determinante mit (11.) zeigt nun unmittelbar, 
dafs diese Fläche das Erzeugnis der beiden Bündel 
k x x x -j- A 2 x 2 -f- A 3 x 3 — 0, 1c 1 V t -j- k 2 V 2 -f- k 3 F 3 — 0, 
wenn dieselben durch die Gleichung 
Aj k x —J— k 2 k 2 + hh === 6 
reciprok auf einander bezogen werden. 
Wir haben somit den Satz: 
Jede Fläche zweiten Grades wird durch zwei reciproke 
Strahlenbündel, deren Mittelpuncte in ihr liegen, erzeugt, 
indem jeder Strahl des einen von der ihm entsprechenden 
Ebene des anderen Bündels in einem Puncte der Fläche 
geschnitten wird. 
§ 65. 
Involutorische Strahlenbündel. 
Den bisherigen Auseinandersetzungen lag offenbar die still 
schweigende Voraussetzung zu Grunde, dafs die beiden Bündel nicht 
concentrisch liegen, denn nur in diesem Falle wird jede Ebene des 
einen von ihrer entsprechenden Ebene des anderen Bündels im 
Allgemeinen in einem vom Mittelpuncte des Bündels verschiedenen 
Puncte geschnitten. Wir wollen nunmehr die geometrische Bedeutung 
der Gleichung (11.) für den Fall erörtern, dafs die beiden Bündel 
concentrisch sind. Da nunmehr die Ebenen F,, V 2 , F 3 durch den 
Durchschnittspunct der drei Ebenen U x , U 2 und ü 3 gehen, so lassen 
sich stets Constante m auffinden, dergestalt, dafs (§ 11) 
Fi = m n U x + m n U 2 + m n U 3 
V 2 = m n TJ X + m 22 U 2 + m n U 3 
V 3 = tn 31 U x -f m 32 U 2 -f m 33 U 3 . 
Die Gleichung des Bündels 
l x Vi + -k 2 V 2 +'-k 3 V 3 = 0 
geht hiernach über in 
ü l Umnki -j- U 2 £m i2 hi -f- U 3 Ern^h = 0 
i i i 
= U\ -j- % 2 U 2 -f- x 3 U 3 , 
wo