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I. Abschnitt. Erstes Capitel. Einleitung. 
Senkrechte mit den Coordinatenaxen einschliefst, die Neigungswinkel 
der Ebene gegen die Coordinatenebene, da die Schenkel jedes dieser 
Winkel auf den Ebenen eines der Flächenwinkel senkrecht stehen, 
welche die Ebene mit den Coordinatenebenen bildet. 
Die Formel (4.) zeigt, dafs die Winkel a, ß, y nicht von einander 
unabhängig sind und dafs der eine durch die beiden anderen wenigstens 
seiner Gröfse, wenn auch nicht dem Zeichen nach, bestimmt ist. Aus 
(4.) folgt z. B. 
cos y 2 — 1 — cos a 2 — cos ß 2 
= 1 — cos a 2 — cos ß 2 -j- cos a 2 cos ß 2 — cos a 2 cos ß 2 
= — (cos a 2 cos ß 2 — sin d l sin ß 2 ) 
— — cos (a -f- ß) cos (a — ß) . 
Diese Formel lehrt, dafs y nur dann einen reellen Wert besitzt, 
wenn cos {a -j- ß) und cos (a — ß) ungleiche Vorzeichen haben. Ist 
diese Bedingung erfüllt, dann liefert sie 
cos y — ]/— cos (a -f- ß) cos {a — /3), 
also zwei gleiche aber entgegengesetzt bezeichnete Werte für cos y. 
Die Gleichungen (1.) geben dann zwei diesen Werten zugehörige 
Puncte, die symmetrisch zur (XX)-Ebene liegen. Diese beiden 
Puncte fallen zusammen und in die (XV) -Ebene, wenn entweder 
(a -f- ß) oder (cc — ß) gleich 90° wird. 
2) Die Formel (4) führt auch zu einem merkwürdigen Zusammen 
hänge zwischen einem ebenen Flächenstücke und seinen Projectionen 
auf die drei Coordinatenebenen eines rechtwinkligen Coordinatensy- 
stems. Dieser Zusammenhang ergiebt sich unmittelbar, wenn das 
Flächenstück ein Dreieck ist, von welchem zwei Ecken in einer Coor- 
dinatenebene liegen. Es sei FQB ein derartiges Dreieck, und es 
mögen die beiden Ecken Q und B in der (X V)-Ebene liegen. F' sei 
die Projection von P auf die (X Y)-Ebene. 
Fällt man nun FS _L QB, so ist auch BS J_ QB, somit ist 
F'S — PS cos a, 
also auch ^QB • F'S = \ QB • FS cos a 
oder AF' QB = APQB cos a . 
Dieselbe Relation bleibt bestehen, wenn nicht mehr zwei Ecken des 
Dreiecks in der Coordinatenebene liegen, sondern wenn blofs die eine 
Seite derselben parallel ist. Denn schneidet man die Geraden PQ 
und PB durch eine beliebige, der QB parallele Gerade in den 
Puncten M und X, so ist MN auch parallel der Coordinatenebene. 
Daher ist auch ihre Projection M' N' auf dieselbe gleich und parallel 
MN. Man kann somit durch M'N' eine Ebene parallel MNP