204 H. Abschnitt. Zehntes Capitel. Die Erzeugnisse projectiv. Grundgebilde. 
raden schneiden; die übrigen Durchschnittspuncte sind allen drei 
Regelflächen gemeinsam und die von ihnen gebildete Curve ist der 
gesuchte geometrische Ort. 
Die Gleichungen (13.) lehren unmittelbar noch eine andere ße- 
stimmungsweise der Curve. Die erste dieser drei Regelflächen wird 
durch die Gleichung dargestellt 
pPQ'—qQP' = 0 
und kann daher als das Ergebnis der beiden projectivischen Ebenen 
büschel 
A+|« = o, P'+i«'-o 
aufgefafst werden. Daraus folgt: 
„Jede Regelfläche und Kegelfläche, welche durch zwei ent 
sprechende Ebenenbüsche] der beiden collinearen Strahlenbüudel 
erzeugt wird, enthält die Durchschnittspuncte der entsprechenden 
Strahlen der beiden collinearen Bündel.“ 
Wir können aber die drei Regelflächen 
pPQ'—qQP'= 0, pPR'~ rP'R = 0, 
qQR' — rQ' R = 0 
auch als das Erzeugnis je zweier der drei projectivischen Ebenen 
büschel 
p+ip-=o, q + \q= 0, s + ijf=o 
betrachten. Da nun je zwei der di-ei Regelflächeu eine Axe dieser 
drei Ebenenbüschel gemeinsam haben, so folgt: 
,,Die Curve der Durchschnittspuncte der entsprechenden Strahlen 
zweier collinearer Strahlenbündel ist der geometrische Ort der Durch 
schnittspuncte der entsprechenden Ebenen dreier projectivischer Ebenen 
büschel.“ Und umgekehrt: 
Da die Curve der Durchschnitt zweier Regelflächen ist, die einen . 
Strahl gemeinsam haben, so wird sie von einer Ebene im Allge 
meinen in drei Puncten geschnitten. Denn diese Ebene wird von 
jeder der beiden Regelflächen in einem Kegelschnitte geschnitten; 
also sind die vier Durchschnittspuncte dieser beiden Kegelschnitte 
den beiden Regelflächen gemeinsam. Da nun einer derselben ein 
Punct des den beiden gemeinsamen Strahles ist, so sind blos die drei 
übrigen Puncte Durchschnittspuncte der Ebene mit unserer Curve; also: 
Die Curve wird von einerEbene im Allgemeinen in drei 
und nie in mehr als drei Puncten geschnitten; sie wird des 
halb eine Raumcurve der dritten Ordnung genannt. 
Die Durchschnittspuncte der entsprechenden Strahlen 
zweier collinearer Strahlenbündel bilden eine Raum-