§ 3. Projection von Geraden und Flächen. 
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legen und diese schneidet das dreiseitige senkrechte Prisma MNP 
M' N' P' in einem Dreiecke M'N' P", das dem Dreiecke MNP con 
gruent ist. Das Dreieck M'N'P" hat aber mit seiner Projection 
auf die Coordiuatenebene: M' N' P' die Seite M'N' gemeinsam und 
daher ist nach dem Vorstehenden: 
A M'N'P*= A M'N'P'*gos a, 
wo a den Winkel bezeichnet, den die Ebene M'N'P" oder, was 
dasselbe ist, die ihr parallele Ebene MNP mit der Coordiuatenebene 
bildet. Da nun A M'N'P" £\J A MNP, so erhält man 
A M' N' P'= AM NP cos a . 
Ist also eine Seite eines Dreiecks A parallel einer Coordiuatenebene 
und ist a der Winkel, den die beiden Ebenen einschliefsen, so ist 
seine Projection A' auf diese-Coordiuatenebene: 
A'= A cos a. 
Hieraus folgt unmittelbar die Gültigkeit dieser Formel für jedes be 
liebige Dreieck. Denn zieht man in der Ebene des Dreiecks durch 
eine seiner Ecken eine Parallele zur Coordiuatenebene (d. i. zur 
Durchschnittslinie der beiden Ebenen), so stellt sich das Dreieck als. 
die Summe oder Differenz zweier Dreiecke dar, deren gemeinsame 
Grundlinie auf eben dieser Parallelen liegt. Seine Projection ist 
übereinstimmend die Summe oder Differenz der Projectioneu dieser 
beiden Dreiecke, Wendet man daher auf jedes dieser Dreiecke die 
obige Formel an, so erhält mau entweder durch Addition oder Sub 
traction der beiden Gleichungen, wenn mit A die Fläche des Drei 
ecks, mit A' die seiner Projection und mit a der Neigungswinkel 
der Dreiecksebene gegen die Coordinatenebene bezeichnet wird, 
A'= A cos a. (a.) 
Hieraus folgt wieder die Gültigkeit dieser Formel für jedes beliebige 
in einer Ebene gelegene Flächenstück und seine Projection auf eine 
andere Ebene, Ist nämlich das Flächenstück ein Polygon, so kann 
man dasselbe in eine algebraische Summe von Dreiecken zerlegen, 
aus welcher man die Projection des Polygons erhält, indem man in 
derselben an Stelle jedes Dreiecks seine Projection setzt. Drückt 
man nun in dieser algebraischen Summe der Projectioneu jede der 
selben vermöge der Formel (a.) aus, so wird dieselbe einem Pro- 
ducte gleich, dessen einer Factor der allen Summanden gemeinsame 
Cosinus des Neigungswinkels der beiden Ebenen ist, und dessen 
anderer Factor aus der algebraischen Summe der Projectioneu hervor 
geht, wenn man darin statt jeder Projection das projicierte Dreieck 
selbst setzt, der also das Polygon selbst ist.