curve der dritten Ordnung, die durch die Mittelpun cte der 
beiden Strahlenbündel hindurch gebt. Die Puucte der 
selben werden aus je zwei entsprechenden Strahlen der 
beiden Bündel durch zwei projectivische Ebenenbüschel 
und aus jedem ihrer Puncte durch eine Kegelfläche pro- 
jiciert. Die Curve kann auch als der Durchschnitt zweier 
Regelflächen aufgefafst werden, die einen Strahl ge 
meinsam haben, oder als der Ort der Durchschnittspuncte 
der entsprechenden Ebenen dreier proj ectivischer Ebe 
nen büschel. 
§ 69. 
Fortsetzung. 
Die Curve der dritten Ordnung zerfällt bei gewissen Lagen der 
beiden collinearen Strahlenbündel. Da dieselbe der gemeinsame Durch 
schnitt der drei Regelflächen 
pPQ'—qQP’ — 0, pPR'—rP’R = 0, 
qQR — r Q'R = 0 
ist, so werden sich ihre Degenerationen aus diesen Gleichungen er 
geben. 
1) Haben beide Bündel eine Fläche gemeinsam, ist also etwa 
P = P', so erscheint, wenn wir P und P' prim voraussetzen, die 
Curve als der gemeinsame Durchschnitt der drei Flächen 
P {pQ- qQ) - 0, P {pR-rR) = 0, 
qQR—r Q'R = 0 
Der gemeinsame Durchschnitt dieser drei Flächen besteht aber aus 
zwei Curven: 1. dem Kegelschnitte, den die Regelfläche 
q QR — r Q'R — 0 
in der Ebene P = 0 ausschneidet und 2. der Geraden 
pQ — qQ — 6> pR — rR = o, 
denn jeder ihrer Puncte ist ein Punct der Regelfiäche, da 
qQR — rQ'R = qQ (pR— rR) — rR (p Q'— qQ) 
ist, also seine Coordinaten der Gleichung der Regelfläche genügen. 
Die Curve dritter Ordnung zerfällt somit, im Falle die beiden 
collinearen Bündel eine Ebene entsprechend gemein haben, in einen 
Kegelschnittt und eine Gerade. 
2) Ist nicht nur qP= P', sondern auch aQ — Q', so stellt sich 
die Curve der dritten Ordnung als der gemeinsame Durchschnitt der 
drei Flächen dar