§ 69. Fortsetzung. 
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(«11 ~ 9) ¿1 + «12^2 + «13^3 = 
«21 ^1 ~h («22 (0 ^2 H~ «23^3 = 0 | , (I.) 
«31^1 -f- a 32 1. 2 + («33 — i>) ¿3 = 0] 
aus welchen sich aber A 2 , A 3 nur dann bestimmen lassen, wenn 
p eine Wurzel der Gleichung 
«11 - 
~ 9, 
«12? 
«13 
Zi(p) = 
«21 ? 
«22 " 
«23 
«31 } 
«32, 
«33 
— Q 
Da diese Gleichung nach p vom dritten Grade ist, so bestehen drei 
Werte von p, für welche das Gleichungssystem (I.) auflösbar wird. 
Wir erhalten auf diese Weise drei Wertgruppen von A 1; A 2 , A 3 , deren 
jede eine Doppelebene der beiden collinearen Strahlenbündel be 
stimmt. Somit : 
Zwei concentrische collineare Strahlenbündel be 
sitzen drei Doppelstrahlen und drei Doppelebenen, 
Die Gleichung z/(p) — 0 hat mindestens eine reelle Wurzel, 
somit ist stets eine dieser drei Doppelebeuen reell; die beiden anderen 
sind gleichzeitig reell oder imaginär. Es ist aber auch stets einer 
der drei Doppelstrahlen reell. 
Denn ist 
El = Ei = Ei 
«1 OT 2 Of 3 
die Gleichung eines Doppelstrahles, so müssen cc 3 den Gleich 
ungen genügen (7. und 8.) 
2 a n a i Za i2 Ci i Ea h, a i 
i i i 
cc x Ci 2 
Der gemeinsame Wert dieser Verhältnisse p ergiebt sich daher aus 
den drei Gleichungen 
(«11 — Q) «1 + «12 «2 + «13 «3 = 0 
«21 «1 ~f~ («22 P) a 2 “h «23 «3 = ^ 
«31 «1 + «32 «2 + («33 O) «3 = ^ 
durch Elimination von k 1? o: 2 , « 3 . Zur Berechnung des p erhalten 
wir also auch hier die Gleichung z/(p) = 0, deren jede Wurzel 
daher einen Doppelstrahl der beiden concentrischen collinearen Strah 
lenbündel bestimmt. Jede Wurzel von z/(p) = 0 bestimmt somit 
sowohl eine Doppelebene als auch einen Doppelstrahl der beiden con 
centrischen collinearen Strahlenbündel; also die reelle Wurzel sowohl 
einen reellen Doppelstrahl als auch eine reelle Doppelebene. 
Esohericli, Einleitung' i. d, anal. Geom. d. Raum. 
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