§ 70. 
Der Ebenenbüschel der dritten Ordnung. 
Wir wenden uns nunmehr der Betrachtung des anderen Falles 
zu, in welchem die beiden collinearen Grundgebilde gleichartig sind, 
des Falles, dafs dieselben zwei collineare ebene Systeme sind. Es 
steht dieser Fall dem eben behandelten Falle, in welchem die beiden 
Grundgebilde zwei Strahlenbündel waren, reciprok gegenüber und 
wir wollen daher, statt die vorhergehenden Rechnungen und Schlüsse 
mit Berücksichtigung der veränderten Bedeutung der einzelnen Symbole 
zu wiederholen, gleich die erhaltenen Resultate mittelst des Gesetzes 
der Reciprocität auf den vorliegenden Fall übertragen. 
Jedem Puncte der Curve der dritten Ordnung entspricht reciprok 
eine Ebene und daher der Gesamtheit ihrer Puncte, als einer einfach 
unendlichen Reihe, eine einfach unendliche Reihe von Ebenen. Dieselbe 
wird eine Developpable oder Umhüllende der dritten Klasse 
oder auch ein Ebenenbüschel der dritten Ordnung genannt, 
da, nach dem Gesetze der Reciprocität, durch jeden Punct des Raumes 
drei Ebenen dieses Gebildes hindurchgehen. 
Jeder Regelschar, aufgefafst als das Erzeugnis zweier reciproker 
Ebenenbüschel, entspricht reciprok das Erzeugnis zweier reciproker 
Punctreihen, deren Träger sich nicht schneiden, also wieder eine 
Regelschar. Der Leitschar der einen entspricht die Leitschar der 
anderen ; jeder Berührungsebene der einen ein Punct der anderen etc. 
Somit ergiebt sich aus § 68: 
Die Yerbindungsebenen entsprechender Strahlen 
zweier collinearer ebener Systeme bilden einen Ebenen 
büschel der dritten Ordnung, dem auch die Träger der 
beiden ebenen Systeme angehören. Die Ebenen desselben 
werden von je zwei entsprechenden Geraden der beiden 
ebenen Systeme in projectivischen Punctreihen und von 
jeder Ebene in einem Strahlenbüschel der zweiten Ord 
nung geschnitten. Der Ebenenbüschel der dritten Ord 
nung stellt sich auch dar als die Gesamtheit der gemein 
samen Berührungsebenen zweier Regelflächen, die einen 
Strahl gemeinschaftlich haben, auch als der Inbegriff 
aller Ebenen, die durch die entsprechenden Puncte dreier 
proj ecti vischer Punctreihen bestimmt werden. 
Der Ebenenbüschel der dritten Ordnung zerfällt bei besonderen 
Lagen der beiden collinearen ebenen Systeme (§ 69). 
Haben die beiden Systeme einen Punct ihrer Schnittlinie ent 
sprechend gemein, so zerfällt der Ebenenbüschel der dritten Ordnung