212 II. Abschnitt. Zehntes Capitel. Die Erzeugnisse projectiv. Grundgebilde.
Untersuchung zu Grunde legen und von der Eigenschaft derselben
ausgehen, dafs sie der geometrische Ort der Schnittpuncte je dreier
entsprechender Ebenen dreier projectivischer Ebenenbüschel sei. Es
seien nun
M = m 1 x x -f- m 2 x 2 -}- m 3 x 3 + m 4 x 4 •
N = n 4 x x -\- n 2 x 2 + n 3 x 3 -f- n 4 x 4
P = Pi x 4 + #2 X 2 + Pz X 3 + Pi X 4 . ^ ^
Q = ül X i + Í2 ^2 + <h X 3 + 9.4 X 4
P = r 4 X, + r 2 x 2 + r 3 x 3 + r 4 x 4
S = Sj x 4 -j- s 2 X 2 —j— Sg x 3 —[— x 4 '
die sechs Grundebenen der drei die Raurncurve erzeugenden Ebenen-
büschel. Werden diese selbst dargestellt durch:
Jf-|-AW=0; P+A0 = 0; P + = (2.)
so ist der Durchschnittspunct je dreier Ebenen, welche in diesem
Gleichungssysteme durch dasselbe A bestimmt werden, ein Punct der
Curve.
Berechnen wir aber aus (2.) die Coordinaten dieses Puñetes, so
ergeben sie sich in der Form:
p x 4 = öq A 3 —j— ci j A 2 —{— o, 2 A —|— (x 3
q x 2 = b 0 P + P A 2 -f- h 2 A -f- &3
Q x 3 = c 0 + c \P l + C 2^ + C 3
qx 4 = cIq A 3 -j— d 4 A 2 —[- ^ ~j~ ä 3 ,
wo p einen Proportionalitätsfactor bedeutet. Setzen wir daher
a 0 u 4 + h 0 u 2 + c 0 u 3 + P u 4 = M 0
Ct 4 U\ —(— h 4 U 2 ~f" Cj Mg -j~ p = J\P 4
Clt) U 4 —f- &2 ^2 “f“ ^2 % ~f~ P ^4 — -dp
a 3 W l P ^3 W 2 H~ C 3 U 3 ^3 U 4 — M 3 ,
so ist, wenn wir die u i} u 2 , u 3 , u 4 als Ebenencoordinateu betrachten,
M 0 A 3 + M 4 A 2 + M 2 l + M 3 = 0 (3.)
die Gleichung des Curvenpunctes. Es stellt also die Gleichung (3.)
für jeden Wert des A einen Punct unserer Curve dar, und lassen wir
daher hierin das A alle Werte von — oo bis -j- oo durchlaufen, so
erhalten wir die Gesamtheit aller Puñete der Curve. Wir können
somit die obige Gleichung als eine analytische Darstellung dieser
Curve betrachten.
Dafs auch umgekehrt jede derartige Gleichung eine Curve der
dritten Ordnung repräsentiert, ist an sich klar; wir können uns aber
hiervon auch in folgender Weise überzeugen, die zu einer neuen
analytischen Darstellung der Curve führt.
