§71. Die Raumcurve und der Ebenenbüschel der dritten Ordnung. 213 
Gehen wir von (4.) zu den Coordinateli des Curvenpunctes zurück, 
so werden wir wieder auf die Gleichungen £3,) geführt. Bezeichnen 
wir nun in der Determinante H + a 0 h ì c 2 d 3 die Subdeterminante 
irgend eines Elementes mit demselben Index und denselben .aber 
grofsen Buchstaben, so ist, wenn wir der Kürze halber 
A 0 x \ ~f“ G 0 x 3 -f- = TK 0 
A x x x -j- Bi x 2 -J- G x x 3 -j- D x x x = W, 
A 2 X x -f- B 2 X 2 ~l~ G 2 X 3 “f” d) 2 X 4 1^2 
Ai x , + £3X2 + G 3 x 3 -j- d) 3 x 4 = W 3 
W 0 : W t : W 2 : W 3 = A 3 : A 2 : A : 1 . (4.) 
Hieraus ergiebt sich auch 
W 0 — A W x = 0 W t — A TK 2 = 0 W 2 — AID, = 0, (5.) 
und es ist also der Durchschnittspunct je dreier Ebenen, welche hier 
aus durch dasselbe A bestimmt werden, ein Puuct der Curve. Die 
Curve erscheint sonach als das Erzeugnis der drei projectivischen 
Ebenenbüschel (5.). Zu dieser Darstellung der Curve hätten wir auch 
unmittelbar gelangen können, welche Thatsache neuerdings beweist, 
dafs die Gleichung (3.) eine allgemeine Curve der dritten Ordnung 
repräsentiert. Denken wir uns nämlich die Curve durch eine Ebene 
W x — 0 geschnitten und projicieren wir aus zwei von den drei in 
dieser Ebene gelegenen Secanten die Curvenpuncte, so sind die beiden 
projicierenden Ebenenbüschel zu einander projectivisch, da sie einen 
Kegel erzeugen (§ 68). Ist daher W 0 — 0 die Ebene, die in dem 
einen, und W 2 = 0 die Ebene, die in dem anderen Ebenenbüschel 
der Ebene W x —0 entspricht, so können die beiden Ebenenbüschel 
durch die Gleichungen 
W 0 — A W \ — 0 W x — l W 2 = 0 
dargestellt werden. Projicieren wir nun die Curvenpuncte auch aus 
einer anderen der in der Ebene W 2 = 0 gelegenen drei Secanten der 
Curve, so ist der so entstehende Ebenenbüschel zu dem Ebeuen- 
büschel W x — AIK 2 = 0 in Ansehung der Ebenen, welche denselben 
Curvenpuuct projicieren, projectivisch. Nun projicieren die Ebenen 
W x = 0 des einen, und W 2 = 0 des anderen Ebenenbüschels den 
selben Punct; entspricht daher der Ebene W 2 = 0 als Ebene des 
Büschels W x — ATKj = 0 im neuen Büschel die Ebene W 3 — 0, so 
wird dieser durch die Gleichung dargestellt: W 2 — ATK3 =0. Es 
stellt sich sonach die Curve als der Ort der Durchschnittspuncte der 
entsprechenden Ebenen der drei projectivischen Ebenenbüschel dar: 
W 0 — XW x = 0; W x — IW 2 = 0; W 2 — ATK 3 = 0.