§ 72. Fortsetzung. 
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W () — 2AW, -f- PW 2 — 0 | 
W x - 21W 2 -f A 2 TT 3 = 0j ‘ 
Jede Ebene, welche durch eine Tangente der Curve hindurchgelegt 
wird, berührt ebenfalls die Gurve im Berührungspuncte der Tangente 
und wird deshalb eine Tangentialebene der Curve genannt. Der 
Gleichung derselben läist sich somit immer die Form geben: 
(TF fl - 2XW t + PW 2 ) -f fi (W i - 2XW 2 + PW,) = 0, 
wo ja einen Parameter bedeutet. Jede dieser Ebenen hat offenbar 
mit der Curve aufser dem Berührungspuncte der Tangente, in welchem 
zwei der drei Schnittpuncte der Ebene mit der Curve zusammen!allen, 
noch einen Punct gemeinsam. Bezeichnen wir nun den Parameter 
dieses Punctes in (5.) mit A,, so können wir aus der obigen Gleichung 
der Berührungsebene p, durch diesen Parameter ausdrücken. Denn 
es bestehen dann für die Coordinaten dieses Punktes die Gleichungen 
W 0 + 0 — 2A)TT, + (A - 2ja)AW 2 + <iPW, = 0, 
woraus für ja die Gleichung folgt 
Aj 3 + (¡a — 2A) Aj 2 + (A — 2 i r)AA 1 + jaA 2 = 0, 
uud hieraus ergiebt sich 
ja ■== — Aj. 
Also ist die Gleichung der Ebene, welche die Curve im Puncte A 
berührt und im Puncte Aj schneidet: 
W 0 - (2A + X,)W x + (A + 2Aj) W 2 - A 2 A, W 3 = 0. 
Für die Ebene nun, deren Gleichung hieraus für A = A, hervorgeht, 
vereinigt sich auch der dritte Schnittpunct mit dem Berührungspuncte 
A; sie hat also mit der Curve drei zusammenfallende Puncte gemein 
sam. Eine solche Ebene wird eine Osculations- oder Schmiegungs 
ebene der Curve im Puncte A genannt; ihre Gleichung ist: 
W 0 — 3A W t + 3 A 2 W 2 — P W s = 0. 
Aus der Form dieser Gleichung folgt unmittelbar, dafs wenn wir 
hierin A als einen Parameter ansehen, die sämtlichen Ebenen, welche 
sich aus derselben ergeben, einen Ebenenbüschel der dritten Ordnung 
bilden (§ 71). 
Wir erkalten somit den Satz: 
Die sämtlichen Osculationsebenen einer Curve der 
dritten Ordnung bilden einen Ebenenbüschel der dritten 
0 r d n u n g. 
Da die llaumcurve und der Ebenenbüschel der dritten Ordnung 
einander reciprok gegeuüberstehen, so folgt hieraus wieder nach dem 
Gesetze der Reciprocität: 
Die Schnittpuncte je dreier unendlich benachbarter