Elftes Oapitel. 
Collineation und Reciprocität räumlicher Systeme. 
§ 75. 
In ganz derselben Weise, wie wir in den vorhergehenden Ab 
schnitten die Elemente zweier Grundgebilde der ersten oder zweiten 
Stufe in Beziehung zu einander setzten, können wir auch die Ele 
mente zweier räumlichen Systeme einander zuordnen, indem wir deren 
Coordinaten durch Gleichungen mit einander verknüpfen. Bei der 
gröfseren Zahl Elemente, die das räumliche System besitzt, wird sich 
zwischen zwei räumlichen Systemen auch eine gröfsere Mannigfal 
tigkeit von Verwandtschaften aufstellen lassen, als bei den Grund 
gebilden der zweiten Stufe. In der That können ja auch die Gleich 
ungen, welche die Beziehung zwischen den Elementen der beiden 
räumlichen Systeme ausdrücken, durch die Verbindung aller drei 
Coordinatenarten, der Punct-, Ebenen- und Liniencoordinaten ge 
bildet werden. Doch wurden von der Menge Verwandtschaften, die 
aus diesem Grundgedanken fliefsen, bis jetzt zunächst nur solche be 
rücksichtigt, in deren Verwandtschaftsgleichungen allein Punct- und 
Ebenencoordinaten der beiden räumlichen Systemen verbunden sind. 
Hier wollen wir nun, ebenso wie in den vorhergehenden Fällen, blofs 
jene Zuordnung der Elemente erörtern, bei welcher die Elemente der 
beiden Systeme einander eindeutig entsprechen. Bei dieser Zuordnung 
müssen wir berücksichtigen, dafs von den Elementen eines räumlichen 
Systems: Punct, Ebene und Gerade, die beiden ersten Träger von 
Grundgebilden der zweiten und die Gerade der Träger eines Grund 
gebildes der ersten Stufe ist. Soll daher die Zuordnung derart sein, 
dafs jedem Elemente des einen Systems, das von einem anderen A 
getragen wird, im anderen Systeme ein Element entspricht, das von 
dem A entsprechenden getragen wird, so können nur die Träger 
von Grundgebilden der zweiten oder ersten Stufe einander als ent 
sprechende zugewiesen werden. 
Wir werden hiernach zwei derartige eindeutige Verwandtschaften 
zu unterscheiden haben. Bei beiden entspricht einer Geraden des 
einen Systems im anderen Systeme wieder eine Gerade; aber bei der 
einen sind von den Trägern der Grundgebilde der zweiten Stufe die 
gleichartigen, bei der anderen die ungleichartigen einander 
als entsprechende Elemente der beiden räumlichen Systeme zuge-