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wiesen. Die erste Art der Verwandtschaft wird die collineare, die 
zweite die reciproke oder duale genannt. 
Bei der ersten entspricht also jedem Puncte des einen Systems 
wieder ein Punct des anderen und jeder Ebene des einen eine Ebene 
im anderen; bei der zweiten, der reciproken Verwandtschaft, entspricht 
jedem Puncte des einen Systems eine Ebene des anderen. 
Es müssen also bei der collinearen Verwandtschaft die Coor- 
dinaten je zweier Puncte derart durch lineare Gleichungen mit ein 
ander verknüpft sein, dafs jede lineare Verbindung der Coordinaten 
eines Punctes des einen Systems vermöge dieser Gleichungen wieder 
in eine lineare Verbindung zwischen den Coordinaten des entsprechen 
den Punctes übergeht. Denn nur dann bilden die Puncte, welche 
den Puncten einer Ebene des einen Systems entsprechen, im anderen 
Systeme wieder eine, die entsprechende, Ebene. Sind also etwa x t , 
x 2 , # 3 , x A die Coordinaten des einen, g 4 , £ 2 , | 3 , £ 4 die des ent 
sprechenden Punctes, so mufs hiernach jedes der Verhältnisse irgend 
dreier der Coordinaten x 1} x 2 , x 2 , x x zur vierten: erstens einem Quo 
tienten zweier nach £ 2 , £ 3 , linearen Ausdrücke gleich sein, 
und zweitens müssen alle diese Quotienten denselben Nenner haben. 
Vermöge eines Proportionalitätsfactors q können wir somit diese drei 
Gleichungen durch die vier ersetzen 
QX t = a i jlj -f- « 12 £ 2 + « 13 l 3 + «i4£4 
Q X i — « 2 ,£ 4 -f- «22^2 4“ «23 ^3 4~ «24 ^4 
9X3 = «31 §1 + «32 ^2 4- «331 3 + %4^4 
9 X 4 ~ «41 £4 4" «42 ^2 4“ «43 ^3 4" «44^4 
welche die Verwandtschaftsgleichungen der beiden collinearen Systeme 
genannt werden sollen. Mittelst derselben geht die Gleichung der 
Ebene des ersten Systems 
u x x t + u 2 x 2 -j- m 3 ic 3 -f- % x i — 0 
über in 
% 2a u %i -f- u 2 Ua 2i £,i + % + % A« 4 ,•h 
= UttkiUjcli = 0, 
ik 
welches somit die Gleichung der entsprechenden Ebene ist. Bezeichnen 
wir ihre Coordinaten mit u X} u 2 , u 2 , u x und mit G einen Propor 
tionalitätsfactor, so hängen also die Coordinaten je zweier entsprechen 
der Ebenen der beiden Systeme durch die Gleichungen zusammen 
GUy = G\y Uy —j— (l 2 y1X 2 —[— « 34 % -j- «41%' 
GU 2 = Cly 2 'Uy —(- Cl/ 22 il 2 —f- «32% G - «42% 
0U «13% 4“ «23% 4- «33% 4“ «43% 
Gu i '= a u u x -J- a 2X u 2 -f- « 34 % 4* «44%, 
(in.)