§ 4. Entfernung zweier Puncte, Winkel zweier Geraden oder Ebenen. 9 
neuen Systems 0 1 X l || OX, 0 l Y i || OY, 0 l Z i | OZ gezogen, wo die 
positiven Richtungen in den parallelen Axen der beiden Systeme 
übereinstimmen sollen. 
Die Coordinateli irgend eines Punctes P, bezüglich des ursprüng 
lichen Systems, seien x, y, z, bezüglich des neuen x x , y [} z v Um 
die Verknüpfungen zwischen denselben kennen zu lernen, betrachten 
wir den Durchschnitt irgend zweier Coordinateli ebenen des neuen 
Systems z. B. der (X,Y,)- und (3T, X,)-Ebene (also der Y, -Axe) 
mit der zur dritten Coordinatenebene des neuen Systems parallelen 
des ursprünglichen, also in unserem Falle der (XX)-Ebene. Ist 0 2 
der Durchschnittspunct der Y x -Axe und sind 0 2 X 2 und 0 2 Z 2 die 
Durchschnittslinien bezüglich der (XjYj)- und (X, Z fA )-Ebene mit 
der (XX)-Ebene, so hat der Punct P in Bezug auf das Hülfs-Coor-, 
dinatensystem 0., X, V, X 2 , in dem die positiven und negativen Rich 
tungen der Axeu mit den parallelen im ursprünglichen übereinstimmen 
sollen, die Coordinateli 
x 2 = x x 5 y<> = y 5 z< 2 ~ ^ i • 
Zieht man nun durch P die Gerade PQ parallel der Y-Axe, so hat 
Q (§ 1) bezüglich des Systems OXZ die Coordinateli x, z, und be 
züglich 0 2 X 2 Z 2 die Coordinaten x 2 , z 2 . Da die Axen dieser beiden 
ebenen Coordinatensysteme übereinstimmend parallel sind und der 
Punct 0 2 bezüglich OXZ die Coordinaten x — a, z — c besitzt, so ist 
x — a -f- x 2 , z = c -f- z 2 , 
somit wegen (1.) 
x — a -\- x i} z — c -f- z x . 
Zieht man durch P noch eine Gerade parallel der X-Axe, welche 
die Ebene 0 2 Y x Z 2 in Q' schneide, so hat Q' bezüglich des Systems 
0 2 Y 2 Z 2 die Coordinate y 2 — y bezüglich des Systems 0 { Y x Z { . Da 
nun beide Systeme parallel zu einander auf der Y, - Axe verschoben 
sind, so ist 
V = b + Vi • 
Die neuen und ursprünglichen Coordinaten eines jeden Punctes sind 
somit durch die Gleichungen mit einander verbunden: 
x = a + x l , y == 1) -f- y { , -z = c + Zi . (1.) 
2) Entfernung zweier Puncte. 
Es hat nunmehr keine Schwierigkeit, die Entfernung zweier 
Puncte durch deren Coordinaten auszudrücken. 
Es seien x x , y { , z x die rechtwinkligen Coordinaten des Punctes P, 
und x 2 , y 2 , z 2 die des Punctes P 2 . Einen dieser Puncte, etwa P x , 
wählen wir nun zum Anfangspuncte eines dem ursprünglichen parallelen