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L Abschnitt. Erstes Capitel. Einleitung. 
Coordinatensysteme P X EHZ, wo die P, #1 OX, P X H \\ OY und 
P, Z || OZ sei. Bezeichnen nun |, rj, g die Coordinaten des Punctes 
P 2 bezüglich dieses neuen Systems, so ist nach (1.) 
£ = x 2 — x x ; r 1 = y 2 ~y i - g = * 2 — 0, , 
daher die Entfernung r der beiden Puncte nach (§ 3, 1) 
r = j/{x 2 — x x ) 2 -f- {jj % — V\? + 0 2 — *\) 1 • (2.) 
Aus den Formeln (3) in § 3, 1 ergeben sich auch die Ausdrücke für 
die Winkel, welche die Richtung von P t nach P 2 mit den #-Axeu 
des Systems OX YZ bildet. Denn diese Winkel sind dieselben, welche 
Pj P 2 mit den Axen von 1\&HZ einschliefst und somit, wenn cc, ß, y 
die Winkel von P t P 2 bezüglich mit der X-, Y- und Z-Axe bezeichnen: 
cos a = — 
x 2 — x¡ 
cos ß 
y Oa - «J 2 + (2/2 — 2/i) 2 + («2 
2/2 ’ 2/i ^ 
■*.) 2 
y\x 2 
cos y — — — 
^i) 2 + (2/2 — 2/i) 3 
Z 2 — Z x 
+ (*2 - >7)* 
(3.) 
y («2 — + (2/2 — 2/l) 2 + («2 - 
wo die Wurzel positiv zu nehmen ist. 
3) Winkel zweier Geraden. 
Die vorstehenden Formeln ermöglichen es, den Winkel, den 
zwei Gerade im Raume mit einander bilden, durch die Winkel, welche 
jede derselben mit den Axen des Systems einschliefst, auszudrücken. 
Da eine parallele Verschiebung der beiden Geraden ihre Lage nicht 
ändert, so werden wir ihre Parallelen durch den Coordinatenanfangs- 
punct betrachten. Es seien cc, ß, y die Winkel, welche die eine 
und a, ß', y die Winkel, welche die andere bezüglich mit der X-, 
Y- und Z-Axe bildet. Auf der zur ersteren Parallelen durch den 
Anfangspunct nehmen wir einen Puuct P,, auf der zur zweiten Pa 
rallelen einen Punct P 2 an. Ist r x die Entfernung OP x und r 2 der 
Abstand OP 2 , so sind die Coordinaten x x , y x , z x von P x und x 2 , 
y 2 , z 2 von P 2 durch die Formeln gegeben: 
x x — r \ cos a > V\ — r \ cos ß > — r \ cos 7} 
x 2 — r 2 cos a, y 2 = r 2 cos ß, z 2 = r 2 cos y. 
Nun ist aber nach dem Carnot’schen Satze, wenn wir mit co den 
Winkel P x OP 2 bezeichnen, 
oder, da 
P X P 2 — r x 2 -f- r 2 2 — 2r t r 2 cos ca, 
r, = V x ? + Vx 2 + V