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Zweiter Teil. Integral -Rechnung. 
oder 
(21) 
I f(x)dx = lim {h(f{a -)- h) f{a + 2 h) + • • • + /’(&))} 
n. >>=o 
= lim 
n = co 
(b — a 
l n 
a; — n 
m 
a -j- ~k 
Formel (20) bestimmt die Fläche AB DG als Grenzwert 
der Summe der inneren Rechtecke P'M, Formel (21) als 
Grenzwert der Summe der äußeren Rechtecke BM'; diese Be 
nennung ist jedoch angepaßt dem in Fig. 116 dargestellten 
Falle, wo die Kurve CD steigt; sie würde sich umkehren, 
wenn die Kurve fiele; bei einer bald steigenden, bald fallenden 
Kurve werden in beiden Ausdrucksformen sowohl äußere als 
auch innere Rechtecke Vorkommen. 
221. Beispiele direkter Ausrechnung bestimmter 
b 
Integrale. 1) Behufs Ermittlung des Integrals j x 2 dx hat 
man zufolge (20) den Grenzwert von a 
b~a\z- 
b — a 
n 
[~a 2 -j- 
+ (a + 2 6 M a ) +- + (o + »-l5_f) ] 
für lim n — oo zu bestimmen; dieser Ausdruck verwandelt sich 
nach Ausführung der Quadrate in 
b (i r 9 . 2 ci (b ^) / i i o i i \ 
na- 4 + ■— (1 4- 2 4- • • • -fi n — 1) 
n L n v ■ 7 
+ + 2 s + ■ ■ • + ir=i*)] 
- h -p [ na? + a{t - a)(n - 1) + (J - ] 
- (6 - a) [a ! + a (h - a) (l - f) + (l -1) (2 - ~)]; 
demnach ist sein Grenzwert