§ 79. Das Gesetz der Reciprocität. 
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Puncte entspricht eine Tangente oder Berührungsebene im unendlich 
fernen entsprechenden Puncte — eine Asymptote oder Asymptoten 
ebene. Fallen die beiden Gegenebenen, mit der unendlich fernen 
Ebene des Raumes zusammen, so heifsen die Systeme affin. In affinen 
Systemen haben entsprechende Gebilde eine gleiche Anzahl von 
Puncten mit der unendlich fernen Ebene gemein. 
§ 79. 
Das Gesetz der Reciprocität. 
Sind die beiden Systeme reciprok, so sind die Coordinateli x ir 
x 2 , x 3 , x 4 eines Punctes des einen Systems mit den Coordinaten u t , 
u 2 , u 3 , u 4 der entsprechenden Ebene des anderen Systems durch vier 
Gleichungen von der Form 
QXi = 2Ja ik u k oder 6Ui = ZA ki kx k , 
k 
wo A ik die frühere Bedeutung (§ 75) besitzt, verbunden. Die Coor 
dinaten | 1; | 2 , | 3 , eines Punctes des zweiten Systems sind mit den 
Coordinaten v x , v 2 , v 3 , v 4 seiner entsprechenden Ebene im ersten 
Systeme hinwiederum durch die Gleichungen verknüpft 
Q GVi ~ AA ik \ k . • 
k k 
Durch diese Formeln wird also jede Gleichung zwischen den Punct- 
oder Ebenencoordinaten des einen Systems in eine Gleichung vom 
selben Grade, aber resp. in Ebenen- oder Punctcoordinateu des anderen 
Systems übergeführt. Somit : 
Jeder Fläche oder Curve von der n len Ordnung und m ien 
Classe entspricht im reciprolfen Systeme resp. eine 
Fläche oder Curve von der n ien Classe und m ien Ordnung. 
Den Puncten der einen Fläche entsprechen hierbei die Ebenen, 
welche die andere umhüllen, d. h. ihre Tangentialebenen, und es 
folgt somit aus den fundamentalen Eigenschaften der entsprechenden 
Gebilde in zwei reciproken Systemen: 
Schneidet eine Gerade die eine Fläche in p Puncten, so gehen 
durch die entsprechende Gerade an die entsprechende Fläche p ße- 
rühruugsebenen. Berührt demnach eine Gerade die Fläche in einem 
Puncte, so berührt auch die entsprechende Gerade, welche in der 
dem Puncte entsprechenden Ebene liegt, die entsprechende Fläche. 
Denn die eine Gerade erscheint als die Verbindungslinie zweier Puncte 
der Fläche, die einander sich unbegrenzt genähert haben, also die 
andere als der Durchschnitt zweier Tangentialebenen, die ebenfalls 
einander unbegrenzt sich genähert haben.