Zwölftes Oapitel. 
Das Erzeugnis zweier projectivisclier räumlicher Systeme. 
§ 80. 
Doppelelemente zweier collinearer Systeme. 
Da zwei collineare oder reciproke räumliche Systeme sich gegen 
seitig durchdringen, so können entsprechende Elemente der beiden 
Systeme sich vereinigen oder, wie man sich ausdrückt, incident werden. 
Sind die beiden Systeme collinear und die Coordinaten der entspre 
chenden Puncte durch die Gleichungen verknüpft 
P Xi 2J, (1 •) 
k 
so müssen also die Coordinaten jedes Doppelpunctes 00j y Xc£ y Xz y j 
der beiden Systeme, d.h. jedes Punctes, in dem zwei entsprechende Puncte 
der beiden Systeme zusammenfalleu, den vier Gleichungen genügen: 
[a n — o)or, x -f- a i2 x 2 -j- « 13 x% -f- a {i x 4 = 0 
a 2l x 1 -f (« 22 — q)x 2 -f a 23 x 3 + a 24 ^ 4 = 0 
« 31 X \ + %2 X 2 + («33 — P) X 3 + «34 X 4 — 0 
«41 X \ + ®42 X 2 “f" ^43 X 3 H~ ( a 44 — P) X 4 ~ ^ ' 
Ein System von homogenen Gleichungen mit vier Variablen kann 
aber nur unter der Bedingung durch dieselben vier Werte der Variablen 
befriedigt werden, dafs die Determinante desselben verschwindet. Dem 
obigen Systeme kann also nur dann genügt werden, wenn p eine 
Wurzel der Gleichung darstellt: 
¿/(p) = 
»11 — 
P> 
^12 > 
a i3) 
a u 
«21 , 
a 22 ' 
P, 
«23, 
a 24 
a ‘i\ } 
a 32 ) 
a 33 
— p» 
« 34 
«41, 
a 4D 
« 43 
) a 44 
— p 
dieser Gleichung 
läfst sich d 
= 0. 
(II.) 
System auflösen, und wir erhalten 
¿Cj : x 2 : x3 : x^ = ¿du : z/ 8 -2 ’ ^¿3 • ¿da , (Uh) 
wenn wir mit zJ ik die Unterdetermiuante jenes Elementes der Deter 
minante z/(p) bezeichnen, weiches in der '¿ ten Zeile und /c len Colonne 
steht. 
Versuchen wir in analoger Weise die Doppelebenen der beiden 
collinearen Systeme zu bestimmen, so werden wir wieder auf dieselbe