§ 4. Entfernung zweier Puncte, Winkel zweier Geraden oder Ebenen. 
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Pj P 2 2 = (x t — x 2 ) 2 -f (y x - y 2 ) 2 + (*, — z 2 )\ 
so.ist « 
r,r 2 COS 03 = x x x 2 + y x y 2 -f z x z 2 , 
also 
cos 03 = cos a cos a -f- cos ß cos ß'-\- cos y cos y. (5.) 
Hieraus läfst sich durch die bekannte Relation sin 03 2 = 1 — cos os 2 
auch ein Ausdruck für sin 03 ableiten. Es ist nämlich 
sin 03 2 = 1 — COS 03 2 = 1 — (cos a cos of-f- cos ß cos cos y cos y') 2 
oder wegen 
sin 03 2 = (cos a 2 -f- cos ß 2 -{- cos y 2 ) (cos a 2 -j- cos ß' 2 -f- cos y' 2 ) 
(cos a cos a -f- cos ß cos ß'-f- cos y cos y') 2 . 
Nun ist aber nach einer sehr häufig verwendbaren Identität: 
Ol 2 + V + cß) {a 2 -f- h 2 2 + c 2 ) ~ (a x a 2 + &, h 2 + c, c 2 ) 2 
(a 1 b 2 — a 2 h { ) 2 -|- (a,c 2 — a 2 c,) 2 + (h Y c 2 — l 2 c x ) 2 
und daher 
sin to 2 = (cos a cos ß'— cos a cos ß) 2 
+ (cos a cos y— cos a cos y) 2 
+ (cos ß cos y — cos ß' cos y) 2 . 
Diese Formel läfst sich auch unmittelbar leicht ableiten, indem man 
das Dreieck DP, P 2 durch seine Projectionen auf die Coordinatenebenen 
ausdrückt. Nacli einer bekannten Formel ist nämlich 
A0P 1 P 2 = 1 
4 r, r 2 sin 03 . 
Seine Projection auf die (XE)-Ebene: dl 4 (^12/2— X 2V\) wandelt 
sich durch Substitution der Werthe von x x , y i} x 2 , y 2 um in 
+ 4 ( x \2/2 — x 2 q J\) — dz 4 r \ r 2 ( cos K cos ß— cos a cos ß) • 
Analog erhält man für die Projection auf die (XZ)-Ebene: 
i 4 ( x i#2 — x 2#i) — di 4 r i r 2 ( cos a cos y'~ cos a ' cos y) : 
auf die (HZ)-Ebene: 
. dz 4 (2/1 z 2 — 2/2^1) = ± 4 r \ r 2 ( CÜS ß cos y~ cos ß' cos y\ 
somit ist nach § 3, 2 
= (cos a cos ß'— cos a cos ß) 2 
-f- (cos a cos y— cos y cos ß’) 2 
Sin 03 2 
(6.) 
. -f- (cos ß cos y— cos y cos ß') 2 . 
4) Neigungswinkel zweier Ebenen. 
Durch die vorstehende ist auch die Aufgabe gelöst, den Neigungs 
winkel zweier Ebenen aus ihren Neigungswinkeln gegen die Coordi-