246 II. Abschnitt. Zwölftes Capitel. Das Erzeugnis zweier collinearer Systeme. 
(«11 
- «) 
: «j.) ^ «,3 ' 
«14 
= a 2 l : 
(«22 
— (?) : a., A : 
«04 
= «31 : 
«32 * 
(«33 — «) : 
«34 
= «41 : 
«42 * 
«43 • («14 
- «) 
Es müssen also die sechszehn Constauten a, damit die vorstehenden 
Bedingungen erfüllt werden ; die Form besitzen 
«11 
— «101 + «; 
«12 «1 02 1 
«13 — «103» 
«11 
= «i0 
«2i 
«2 ß\ 5 
«22 = a 2 ß 2 4- 6, 
«23 = «2 Ai; 
«24 
= «2 0 
«31 
«32 
= CC-iß 2, «33 
= «3 03 + «; 
«34 
= «3 0- 
«41 
= «iß\. 
«42 
= a ¡ß 2 , « 43 
= «4 03; 
«44 
= «4 0 
Die Gleichungen, welche die Collineation der beiden Systeme aus- 
drücken, haben hiernach im vorliegenden Falle die Gestalt 
Q X \ — {cc^ßy -j- (?) £| -J- CCjß.,^., -f~ «)03^3 -{- M\ß4^4 
Q x 2 — «2 0+1 "1" («2 02 + «) i‘2 + «2 0:+3 + «2 04^4 
9 X 3 = «3 01 ll + «3 02 §2 + («3 03 + <D £ 3 + «3^4 
P^4 = «4 0+] + «4 02^2 + «4 ß:t £3 + («4 04 + «) £4 
und es ergiebt sich somit für die Gleichung z/(p) — 0, welche zur 
Bestimmung der Doppelelemente der beiden Systeme dient, 
z/(p) 
(«101 
+ «- 
P); a,/3 2 , «103; 
«104 
«2 01 ; 
(«2 02 
+ 6 — P); «2 03; 
«2 04 
«3 01, 
«3 02; 
(«303 + « ~ P); 
«3 04 
«4 01; 
«4 02; 
«4 03- («4 04 + « 
— P) 
= 0. 
Durch Entwickelung der Determinante finden wir 
¿{Q) = {q ~ G) 3 [qö — a, ßi — cc 2 ß, — a. A ß 3 — a 4 ß 4 ], 
welche Formel lehrt, dafs die Gleichung A{q) = 0 eine dreifache 
Wurzel p = (? und die einfache Wurzel p — a -f- cq ß { -j- <4 ß., -j- « 3 ß. A 
4- « 4 0 4 besitzt. Die vier Gleichungen, welche zur Bestimmung des 
Doppelpunctes dienen, der dem Wurzelwerte p = 6 entprieht, fallen 
in eine einzige zusammen: 
ßl X l + ß‘i X 2 + 03^3 + ßi X i = 0 (E) 
und es ist somit jeder Punet dieser Ebene ein Doppelpunct der beiden 
Systeme. Außerhalb dieser Ebene existiert noch ein weiterer Doppel- 
punct, welcher der einfachen Wurzel 
P — 6 + «i0i + «202 + «3 03 + «1 0i 
der biquadratischen Gleichung A (p) = 0 entspricht. Seine Coordi- 
nateu werden somit durch die Gleichungen bestimmt