§ 83. Perspectivische collineare Systeme. 
247 
— (a,ß, + a 3 ß, -f a 4 ß 4 ) x t + a, ß,x, + a l ß 3 x 3 + «, ß x x 4 = 0 
cc 2 ß l x i — («,/3, -f cc 3 ß 3 + a 4 ß 4 ) x 2 -f cc 2 ß 2 x 3 + a 2 ß 4 x 4 — 0 
a. A ß { X\ + CC 3 ß 2 X 2 — («,/3, -f « 2 02 + a iAl)^3 + «3 04^4 = 0 
«4 Z 3 ! ^1 + «4 02 ^2 + «4 ßi X 'i — («101 + «2 02 + a M X -i = 0 > 
woraus sich für dieselben die Werte ergeben 
x { : x 2 : x 3 : x 4 = a l : a 2 : a 3 : a 4 . (2.) 
Mau erkennt nun leicht, dafs die Verbindungslinie je zweier ent 
sprechenden Puncte der beiden colliueareu Systeme durch diesen 
Doppelpunct hindurchgeht und dafs die Schnittlinie irgend zweier 
entsprechender Ebenen derselben in der Ebene (1.) liegt. Somit: 
„Verschwinden für einen Wurzelwert p der Gleichung z/(p) = 0 
sämtliche Subdeterminanten zweiten Grades der Determinante z/(p), 
so haben die beiden collinearen Systeme einen Strahlenbündel und 
ein ebenes System gemeinsam.“ 
Diese Lage zweier collinearer Systeme, bei welcher 
sie ein ebenes System und einen Strahlenbündel gemein 
haben, wird die perspectivische genannt. 
Es ist aber klar, dafs zwei collineare Systeme, die ein ebenes 
System gemein haben, auch einen Strahlenbündel gemeinsam haben, 
und umgekehrt: dafs zwei collineare Systeme mit einem gemeinsamen 
Strahlenbündel auch ein ebenes System gemein haben. Diese Be 
hauptung fliefst eigentlich unmittelbar aus der Thatsache, dafs die 
Wurzeln der Gleichung z/(p) = 0 nicht allein die Doppelpuncte, 
sondern auch die Doppelebenen der beiden Systeme bestimmen, kann 
aber auch unabhängig hiervon folgeudermassen bewiesen werden. 
Haben dia beiden Systeme ein ebenes System gemeinsam, so schneiden 
sich je zwei entsprechende Ebenen E und E' der beiden räumlichen 
Systeme in einer Geraden des gemeinsamen ebenen Systems. Die 
beiden collinearen Systeme E und E' haben somit die Puncte ihrer 
Schnittlinie zu Doppelpuncteu und liegen also perspectivisch. Die 
Verbindungsgeraden der entsprechenden Puncte von E und E' schnei 
den sich daher in einem Puncte 0, dem Projectionscentrum der 
beiden collinearen ebenen Systeme. Dieser Puuct ist aber der Träger 
eines beiden räumlichen collinearen Systemen gemeinsamen Strah- 
leubündels. Denn jeder aus 0 gezogene Strahl trifft die beiden ebenen 
Systeme E und E' in zwei entsprechenden Puncten der beiden räum 
lichen collinearen Systeme und das ebene System E in einem Doppel- 
punct derselben: Der Strahl ist somit eine sich selbst entsprechende 
Gerade der beiden räumlichen collinearen Systeme. W. z. b. w. 
Ist umgekehrt 0 der Träger eines den beiden räumlichen colli 
ueareu Systemen gemeinsamen Strahlenbündels, so liegen je zwei