§84. Erzeugnisse zweier reciproker Systeme. 
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diesen allgemeineren Fall erörtern, wollen wir in Kürze den Aus- 
nahmsfall besprechen, dafs die Determinante des Gleichungssystems 
Null sei. 
1) Wir werden hierbei zwei Fälle zu unterscheiden haben, je 
nachdem die Verwandtschaftsgleichungen die Punct- oder Ebenen- 
coordinaten des einen Systems durch die Coordinaten des entspre 
chenden Elementes des anderen Systems ausdrücken. 
a) Sind 
QXi=Ua ik u k O) 
k 
die gegebenen Verwandtschaftsgleichungen, so folgt aus ihnen aller 
dings wieder 
= 2Ja ki v k , (ß) 
k 
jedoch die beiden anderen Gleichungssysteme in (1.) und (11.) sind 
unter der Voraussetzung 2J + a n a 22 a 33 a 4i — 0 nicht mehr ableitbar. 
Aus der ersten dieser Gleichungen folgt aber 
Aux 4 -{- A-aX 2 -f- A 3 iX 3 -j- A-üX 4 = 0, 
welche Gleichung für jedes beliebige i ein und dieselbe Ebene dar- 
stellen, da infolge U + d { , a 22 a 33 a u — 0 auch 
An • A%i: Ä3i; An — A ik : A 2k ’- A 3k : A ik 
An : Am : A^ : Au = A k i: A k2 : A k3 : A k i 
ist. Ebenso folgt aus dem zweiten Gleichungssysteme 
-f" Au| 2 -f- Au^s -f- Au% 4 = 0 . 
Es liegen also in jedem Systeme die Puucte, welche den Ebenen 
des anderen Systems entsprechen, in einer bestimmten Ebene. 
Aus den beiden Verwandtschaftsgleichungen ergiebt sich auch, 
dafs die Coordinaten der Ebenen, deren jede durch ihren entspechen 
den Punct geht, der Gleichung genügen 
•A di k Ui u k 0. 
Diese Ebenen bilden somit einen Ebenenbündel der zweiten Ordnung, 
dem auch die beiden Ebenen angehören, deren jede die Puncte ent 
hält, welche durch die Ebenen jedes der beiden Systeme bestimmt 
werden. Denn die Gleichung wird erfüllt sowohl durch die Wert 
gruppe — A u , % = A 2 i, u 3 = A 3 i, u 4 = An, als auch durch 
Mj — Au, u 2 — Au, u 3 ■— A i3 , u 4 — Au, 
Die beiden zu einander reciproken Systeme, welche von diesen 
beiden Ebenen getragen werden und den Ebeneubündel der zweiten 
Ordnung bilden, sind leicht zu erkennen. Nennen wir der Kürze 
halber die Ebene, welche die Puncte trägt, die durch die Ebeneu 
des zweiten Systems (a) bestimmt werden, E, und die andere E’.