252 IT- Abschnitt. Zwölftes Capitel. Das Erzeugnis zweier colliiiearer Systeme. 
Diese beiden Flächen sind im Allgemeinen von einander ver 
schieden, denn sind u x , u 2 , u 3 , u 4 die Coordinateli irgend einer Ebene, 
so entspricht ihr im ersten Systeme der Punct 
QXi=Zaau k , (1.) 
k 
und im zweiten der Punct 
q li = Ea ki u k . (2.) 
k 
Diese beiden Puncte sind also von einander verschieden, so lauge a ik 
nicht für jeden Wert von i und li gleich a kl ist, und liegt der eine 
in der Ebene u Jf u 2 , u 4 , so ist dies auch mit dem anderen der 
Fall, da daun die Coordinaten der Ebene der Relation genügen: 
q{u { xi -f- u 2 xo + u 3 x 3 -[- m 4 # 4 ) = Ua ik UiU k 
= Q (Wj | 4 4“ M 2 §2 + u 3 %3 -f- M 4 | 4 ) = 0 . 
Geht somit eine Ebene, betrachtet als dem einen Systeme angehörig, 
durch ihren entsprechenden Punct im anderen Systeme, so ist auch 
der ihr entsprechende Punct des ersten Systems in ihr gelegen. Die 
reciproke Betrachtung lehrt überdies, dafs jeder Punct gleichzeitig 
in seinen beiden ihm zugeordneten Ebenen liegt. Es umhüllen also 
im Allgemeinen diese Ebenen nicht gleichzeitig die von den incidenten 
Puncten gebildete Fläche 
k Xi Xk = 0, 
sondern eine andere Fläche der zweiten Ordnung. 
§ 85. 
Das Polarsystem. 
Wir wollen nun untersuchen, unter welchen Bedingungen die 
von den incidenten Puncten gebildete und von den incidenten Ebenen 
umhüllte Fläche identisch sind. 
Der Ebene e entspreche im ersten Systeme der ihr incidente 
Punot E, dann fällt auch der ihr im zweiten Systeme entsprechende 
Punct E' in sie. Dem Puncte E des zweiten Systems entspricht im 
ersten Systeme eine gleichfalls incidente Ebene e 4 . Der dieser Ebene 
im ersten Systeme entsprechende Punct E t liegt nach dem Vorher 
gehenden in e n aber auch in e, da dem Puncte E im zweiten Systeme 
die Ebene e entspricht. Die diesem Puncte E x im ersten Systeme 
entsprechende Ebene e geht aus denselben Gründen sowohl durch E v 
als auch durch E'. Es liegen also in der Ebene e drei ihren Ebenen 
incidente Puncte, E', E und E x . Diese drei Puncte und gleichfalls 
die drei mit ihnen respective incidenten Ebenen c, e x und e' fallen