§ 85. Das Polarsystem.
253
zusammen und können auch nur dann zusammenfallen, wie die Re
lationen § 84 I, II, 1. und 2. zeigen, wenn die Determinante
27 + « n , « 22 , « 337 « 44 symmetrisch ist. In diesem Falle ist also diese
Ebene, welche der Fläche der zweiten Classe UaaUtUk — 0 angehört,
eine Berührungsebene der Fläche EA ik XiXk = 0, da sie mit ihr drei
zusammenfallende Puncte {E, E', E^) gemeinsam hat und jener Puuct
der Fläche 27AaXiX k — 0 ein Punct der Fläche 27aaUiU k — 0, da
sich in ihm drei unendlich benachbarte ümhüllungsebenen derselben
(e, e, e,) schneiden. Unter dieser Bedingung umhüllen also die in-
cidenten Ebenen die von den incidenten Puncten gebildete Fläche.
Ist nun in den Gleichungen (I.) «¿* = «*,■ und somit A ik — A ki ,
so zeigen dieselben, dafs jedem Elemente, mag man es als Element
des ersten oder zweiten räumlichen Systems betrachten, ein und das
selbe andere Element entspricht. Wir können daher die beiden
räumlichen Systeme als ein einziges System betrachten, in welchem
jedem Puncte eine Ebene und jeder Geraden eine Gerade zugeordnet
sind. Ein solches System wird ein Polarsystem genannt; jeder
Punct heilst der Pol der ihm zugeordneten Ebene, jede Gerade
oder Ebene heifst die Polare des ihr zugeordneten Strahles resp.
Punctes. Die Coordinateli eines Punctes und seiner entsprechenden
Ebene sind durch die Gleichungen mit einander verknüpft;
QXi = 27aau k oder CUi = 27A ik x k ,
k k
WO dik = Clki ist.
In dem Polarsysteme
q x% =27 «¿jt %ic)
k
erfüllen die Pole, die in ihren Ebenen liegen, die Fläche
der zweiten Ordnung
EA ilc XiX k = 0,
ik
welche von den Polarebenen dieser Puncte umhüllt wird,
deren Gleichung in Ebenencoordinaten somit
27 « [ k xii — 0
ik
ist.
Diese Fläche wird die Ordnungsfläche des Polarsystems
genannt.
Jedes Polarsystem besitzt unendlich viele Tetraeder, in deren
jedem jede Ecke der Pol ihrer gegenüberliegenden Seitenebene ist
und also jede Kante die gegenüberliegende Kante zur Polare hat.
Für jedes solche Poltetraeder als Fundamentaltetraeder nimmt die
