254 li. Abschnitt. Zwölftes Capitel. Das Erzeugnis zweier collinearer Systeme.
Gleichung der Ordnungsfläche eine merkwürdige einfache Form an.
Da nämlich dann der Ebene x x — 0 die Ecke u x = 0 entsprechen
soll, so mufs in den Gleichungen
QXi == HaaUjc
k
= a 13 = « 14 = 0 sein; die Annahme, dafs auch jede der anderen
Tetraederecken ihre gegenüberliegende Seitenfläche zur Polarebene
habe, hat zur Folge
a i 1 “ rt 23 ~ a 2A ~ a 31 ~ a ?.‘2 — a 'i\ — a 4I ~ a \2 ~ ft 43 = 0 .
Die Gleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Elementen
des Polarsystems ausdrücken, nehmen hierdurch die einfache Form an
Q 00 ^ | ^ ^ ^2 “—" ^22 ^2 5 9 ^3 === ^33^3 ? ^44^4 •
Die Gleichung der Ordnungsfläche des Polarsystems erhält somit für
ein solches Poltetraeder als Fundamentaltetraeder die Form
■T] 2 1 ^2~ I _i_ X4 2 Q
(tfl CI22 U33 Ö44
und in Ebenencoordinaten
a n u x 2 + a 22 u 2 + a 33 M 3 2 -f a 44 w 4 2 = 0 .
Diese Gleichungen zeigen, dafs die Ordnungsfläclie eines Polarsystems
auch imaginär sein kann, was eintritt, wenn in denselben sämtliche
Gröfsen a n , a 22 , « 33 , « 44 gleichbezeichuet sind.
Es läfst sich aber auch umgekehrt jede Fläche zweiten Grades
mit Ausnahme der Kegelfläche als die Ordnungsfläche eines Polar
systems betrachten. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades in den
Coordinaten x x , x 2 , x % , x 4 besitzt nämlich die Form
a xx x x ' -|- 2a X2 x x x 2 + a 22 x 2 2 -f- 2a n x x x i -)- 2a n x 2 x^ -f - « 33 # 3 2
-f- 2a xi x x x 4 + 2a 24 x 2 x 4 +’2a 34 x 3 x 4 -f « 44 x 4 2 = 0.
(I.)
Die durch sie repräsentierte Fläche ist daher, .vorausgesetzt dafs die
symmetrische Determinante U 4~ a u a 22 a 33 a 44 nicht verschwindet,
die Ordnungsfläclie des Polarsystems
6ui = Zo,i k x k ; QX { = 2A ik u k ,
k k
wo aik=ci’ki■ Die Gleichung dieser Ordnungsfläclie in Ebenencoor-
dinaten ist somit
J-n w 4 2 -f- 2^4
12 ^2 -f- -4 22 m 2 2 -f- 2^4 13 u x u. A -j- 2A n u 2 u. x -f- Ä n u A 2
+ 2J. 14 w 4 w 4 4- 2A 24 u 2 u 4 4- 2A :i4 u A u 4 4- A A4 u 4 2 = 0,
welche Gleichung wir offenbar auch in der Form
