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I. Abschnitt. Erstes Capitel. Einleitung. 
natenebenen zu berechnen. Denn zwei Gerade, deren jede auf einer 
anderen der beiden gegebenen Ebenen senkrecht steht, s^ilief^en 
mit einander den Neigungswinkel der beiden Ebenen ein. Die beiden 
Geraden, die wir vom Ursprung des Systems senkrecht auf die beiden 
Ebenen fällen, bilden also mit einander den gesuchten Winkel. Die 
Neigung jeder dieser Geraden gegen jede der Axen ist aber durch die 
Neigungswinkel der Ebene nach § 3 gegeben. Sind daher a } ß, y 
die Neigungswinkel der ersten Ebene bezüglich gegen die (17)-, 
{XZ)- } {YZ)-Ebene, a, ß', y die analogen der zweiten, so schliefst 
die Senkrechte auf die erste Ebene mit den Axeu (nach § 3) die 
Winkel a, ß, y und die zweite a, ß', y ein. Es ist somit der 
Neigungswinkel der beiden Ebenen nach (5.) durch die Formel 
gegeben: 
cos co — cos a cos a-j- cos ß cos ß'-\- cos y cos y. (5'.) 
§ 5- 
Polarcoordinaten. 
In analoger Weise wie in der Ebene mittelst Polarcoordinaten 
kann man auch im Raume den Punct fixieren. 
Kennt man die Entfernung r des gesuchten Punktes P von einem 
fixen Puncte 0, so liegt der gesuchte Punct auf der Kugelfläche, 
die aus 0 mit r als Radius beschrieben wird. Ist nun der in einem 
bestimmten Sinne gezählte Winkel a bekannt, deii die Ebene, welche 
durch P und eine fixe Gerade OX gelegt wird, mit einer festen, 
etwa OX enthaltenden, Halbebene bildet, so liegt P auf dem Kreise, 
in dem die Ebene die Kugel schneidet. Kennt man daher auch den 
Winkel ff, den die Gerade OP mit der Geraden OX einschliefst, so 
ist der Punct P eindeutig bestimmt. 
Der Winkel oo kann bei dieser Bestimmungsweise, wo es sich 
um die Lage der Ebene OFX handelt, offenbar auf Werte zwischen 
0° und 180° beschränkt werden; dann rnufs aber der Winkel ff die Lage 
des LI al bStrahles OP bestimmen und daher alle Werte von 0° bis 360° 
annehmen können, sobald man für r blofs positive Werte zuläfst. 
Wollte man hingegen P dadurch fixiren, dafs man die Halbebene 
OPX festlegte, in der P liegt, so müfste co alle Werte von 0° bis 360° 
annehmen können, und der Spielraum des ff auf 0° bis 180° einge 
schränkt werden. 
Es ist leicht, die Beziehungen, welche zwischen den recht 
winkligen und diesen Polarcoordinaten eines Punctes bestehen, ab 
zuleiten. 
Zu diesem Behüte nehmen wir OX als die positive Seite der