§ 86. Die Fläche der zweiten Ordnung, 
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Polarebene, so werden die Coordinaten des Durchschnittspunctes dieser 
Geraden mit der Fläche die Form haben Xi = A|h -f- y,y{. Hierin 
sind A und y aus der Bedingung zu bestimmen, dafs die Coordinaten 
des Punctes die Gleichung 2JuikXiX k — 0 befriedigen sollen. Sub 
stituieren wir sie hierin, so erübrigt wegen (1.) zur Bestimmung von 
A und y die Gleichung 
P2Ja ik ii 
ik 
s k + p 2 2 dikViVk — 0 ; 
ik 
woraus sich 
p.. l 
für — 
die beiden Werte + 
V- 
? a ikViVk 
IJk 
ergeben. 
Dieselben lehren, dafs die Gerade die Fläche in zwei Puncten schneidet, 
welche den Pol vom Durchs chnittspuncte mit der Polarebene harmo 
nisch trennen. 
Mittelst des Gesetzes der Reciprocität folgt hieraus wie oben: 
Legt mau aus einer Geraden einer Ebene Tangentialebenen 
an die Fläche, so trennen dieselben die Ebene harmonisch von 
ihrem Pol. 
Ist in dem obigen Ausdrucke 
± = + 
V- 
2' a ikVi Vk 
i k 
^ a ik t 7- 
ZttikViVk = o, sind also y i , y 2 , y%, y A die Coordinaten eines Durch- 
i k 
schnittspunctes der Polarebene mit der Fläche, so wird A = 0 und 
somit Xi — yy i} d. h. die beiden Durchschuittspuncte der Geraden 
mit der Fläche fallen in einen einzigen zusammen und es berührt 
daher die Gerade die Fläche. Somit: 
Die Berührungspunkte sämtlicher Tangenten, die von 
einem Puncte an eine Fläche der zweiten Ordnung gelegt 
werden können, liegen in der Polarebene dieses Punctes, 
Hieraus folgt reciprok : 
Die Berührungsebenen, welche längs einer ebenen 
Curve an eine Fläche der zweiten Ordnung gelegt werden, 
schneiden sich irp,Pole dieser Ebene. 
Die gewonnenen Sätze zeigen klar, dafs die in diesem Para 
graphen definierten Gebilde unabhängig sind von der Auffassung der 
Fläche der zweiten Ordnung als Ordnungsfiäche eines Polarsystems, 
und dafs sie mit dieser aus ihren eben entwickelten Eigenschaften 
construiert und daher auch definiert werden können. Sie werden also 
auch für die Fläche der zweiten Ordnung gelten, die nicht als Ord 
nungsfläche eines Polarsystems dargestellt werden kann, für die Kegel 
fläche, wie dies die Entwicklungen des § 84, 11) unmittelbar zeigen. 
Bscherich, Einleitung in d. anal. Geom. d. Kaum. 17