262 li. Abschnitt. Zwölftes Capitel. Das Erzeugnis zweier collinearer Systeme. 
Punct entspricht. Die beiden reciproken Systeme bilden somit in 
diesem Falle ein eigenartiges Polarsystem, in welchem jede Ebene 
durch ihren Pol geht und jeder Punct in seiner Polarebene liegt. 
Ein derartiges Polarsystem wird ein Nullsystem genannt. 
Aus dem Begriffe des Nullsystems folgt unmittelbar, dafs jede 
Gerade, welche von einem Puncte aus in dessen Polarebene ge 
zogen wird, mit ihrer Polare zusammenfällt. Denn die Polarebene 
jedes Punctes dieser Geraden geht wieder durch die Gerade. Somit: 
,,Die Strahlen jedes Strahlenbüschels, der in der Polarebene seines 
Mittelpunctes liegt, sind sich selbst entsprechende Geraden des Null 
systems. Jede Gerade, welche mit ihrer Polare in einer Ebene liegt, 
fällt mit derselben zusammen.“ 
Die obigen Gleichungen lassen nun unmittelbar erkennen, dafs 
die sämtlichen sich selbst entsprechenden Geraden des Nullsystems 
einen linearen Complex bilden. 
Sind nämlich u l} u 2) u 3 , u 4 die Coordiuateu einer Ebene, so geht 
die Gleichung der Ebene 
u i Vi + u,y 2 + u 3 y 3 -f- u i y i = 0 
durch die Relation 
6 Ui = EA ik x k 
k 
wegen A ik — — A ki , An = 0 über in 
^12^12 + A3Pl3 + A4P14 + ^23^23 + AilP‘21 + ^-34^34 = (!•) 
wo p ik = ijiX k — x k iji gesetzt wurde. 
Die pi k sind also die Liniencoordinaten eines Strahles, welcher 
in der betreffenden Ebene liegt und zugleich durch ihren Pol geht. 
Die sämtlichen Strahlen eines Nullsystems, deren 
jeder in der Polarebene eines seiner Puncte liegt, bilden 
einen linearen Complex. 
Zu dem gleichen Resultate gelangen wir durch die reciproke 
Betrachtung. 
Wir finden, dafs die Axen, welche durch einen Punct gehen und 
zugleich in der diesem Puncte entsprechenden Ebene liegen, der 
Gleichung genügen 
«42^12 + «13213 + «14214 + «23 223 + «24 224 + «34 2 34 = 0 > ( 2 0 
wo q lk — ViU k — Ui v k . Es stellt also diese Gleichung in Axencoor- 
dinaten denselben linearen Complex dar. 
Die Gleichungen (1.) und (2.) zeigen auch, dafs jedem linearen 
Complex ein Nullsystem beigeordnet ist, und lehren die Beziehungs- 
gleichungen zwischen seinen Puncteu und Ebenen aus den Coeffi- 
cienten der Complexgleichuug hei’stellen.