264 II. Abschnitt. Zwölftes Capitel. Das Erzeugnis zweier collinearer Sxsteme. 
mit die Axe. Hieraus folgt, dais den Ecken und Seiten eines Parallelo 
gramms von Z in Z' respective die Seiten und Ecken eines Parallelo 
gramms entsprechen. Und umgekehrt. 
Je zwei Puncten von Z, die symmetrisch zu 0 liegen, entsprechen 
in Z' zwei Gerade, die symmetrisch zum Fufspuncte 0' der Axe liegen, 
und umgekehrt. Denn die beiden Puncte in Z werden durch 0 und die 
unendlich ferne Gerade von Z harmonisch getrennt. Da nun der un 
endlich fernen Geraden von Z in Z' der Punct 0' und dem Puncte 
0 von Z in Z' die unendlich ferne Gerade von Z' entspricht, so 
werden die beiden den Puncten von Z entsprechenden Geraden durch 
0' und die unendlich ferne Gerade von Z' harmonisch getrennt. Aus 
diesen Beziehungen folgt unmittelbar: 
Den Seiten und Ecken eines Quadrates von Z, dessen Mittel- 
punct in der Axe liegt, entsprechen in Z' resp. die Ecken und Seiten 
eines Quadrates, dessen Mittelpunct ebenfalls in der Axe liegt. 
Somit umhüllen die Geraden von Z', welche den Puncten eines 
Kreises h von Z entsprechen, dessen Mittelpunct in der Axe liegt, 
ebenfalls einen Kreis, dessen Mittelpunct sich in der Axe befindet. 
Da nun dieser Kreis von sämmtlichen Ebenen des Ebenenbüschels 
der zweiten Ordnung, die den Puncten des Kreises h im Nullsysteme 
entsprechen, berührt wird, so ersehen wir hieraus; 
„Im Nullsysteme umhüllen die Polarebeuen der Puncte eines 
Kreises, dessen Mittelpunct auf der Axe liegt und dessen Ebene auf 
ihr senkrecht ist, einen geraden Kegel, welcher die Axe des Null 
systems zur Axe hat.“ 
Dreht sich also ein Punct sammt seiner Polarebene um die Axe 
des Nullsystems, so beschreibt der Punct einen Kreis und die Ebene 
umhüllt die dem Kreise zugehörige Kegelfläche: sie bleibt also während 
dieser ganzen Bewegung die Polarebene des Puuctes. Daraus folgt: 
Das Nullsystem und der Strahlencomplex ändern sich 
nicht durch eine Drehung um die Axe. 
Aus dem früher bewiesenen Satze, dafs alle in einer Durchmesser- 
ebene gelegenen Complexstrahlen parallel sind, folgt überdies: 
Das Nullsystem und der lineare Strahlencomplex 
ändern sich nicht, wenn sie in der Richtung der Axe ver 
schoben werden. 
Beide Sätze können wir in den einen zusammenfassen: 
Das Nullsystem und der lineare Strahlencomplex blei 
ben ungeändert bei einer Schraubeubewegung um die Axe.