§ 5. Polarcoordinaten. 
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X-Axe, und die fixe durch OX gelegte Halbebene als die positive 
Hälfte der (X Y)-Ebene eines rechtwinkligen (Koordinatensystems an. 
Fällt man nun auf die (17)-Ebene die Gerade PQ und auf 
OX die Gerade PR senkrecht, so ist aus A OPR: 
OP cos & — x: OP sin ff = PR: 
aus A PQR: 
PR sin co = PQ ; PR cos co = QR, 
woraus folgt 
X — r COS ff 
y — r sin ff COS CO • 
z = r sin ff sin CO J 
Umgekehrt ergiebt sich hieraus: 
r = ]/x l -(- y- -f- z 1 
(2.) 
cos & = 
y 
Diese Gleichungen stellen eindeutige Beziehungen zwischen den 
Gröfsen x, y, z und r, o dar. Denn sind die letzteren gegeben, 
so liefern die Gleichungen (1.) für x, y, z vollkommen unzweideutige 
Werte. Sind hingegen x, y, z bekannt, so geben dieselben nicht 
allein die Gröfse von # und co, sondern auch, da entweder oder co 
nur Werte zwischen 0° und 180° annimmt, die Zeichen des Sinus 
und Cosinus jedes dieser Winkel zu erkennen. Beachtet man nun, 
dafs in (1.) die rechten und linken Seiten der Gleichungen stets 
gleiche Zeichen besitzen, so erhellt, dafs dieselben auch, dem Zeichen 
nach gelten. 
2) Aufser dieser Art Polarcoordinaten findet öfters auch noch 
eine andere Anwendung, Der Punkt P (die vorige Fig.) ist offenbar 
auch bestimmt, wenn aufser seiner Entfernung OP — r, die Winkel 
XOQ = ip und POQ = (p gegeben sind. Hierbei mufs wieder der 
eine dieser Winkel alle Werte zwischen 0° und 360° annehmen 
können, während man den Spielraum des anderen auf den ersten 
Halbkreis beschränken darf. 
Die Formeln zur Verwandlung dieser Polarcoordinaten und der 
rechtwinkligen in einander ergeben sich auch hier sehr einfach aus 
der Figur; man findet 
Z — r.sm cp 
y = r cos cp sin $ } 
X — r cos cp COS j 
(3.) 
und hieraus