274 II. Abschn. Dreizehntes Capitel. Substitution u. Coordinatentransformatiön. 
Die Gleichungen (17.) vereinfachen sich, wenn wir darin den Wert 
der Determinante A substituieren. Bilden wir 
«1*7 
«2 7 
«3 
«17 
«2 7 
«3 
&17 
& 2 7 
h 
& 2 , 
h 
C 1 7 
C 2 7 
C 3 
Cy , 
C 2i 
C 3 
so ergiebt sich nach dem Multiplicationstheoreme der Determinanten 
«i 2 + « 2 2 + « 3 2 77 «i&t + «2 & 2 + «3 & 37 «i c i + «2 «2 + «3 C 3 
a^hy -}~ «2^2 "f" «3^37 ^i 2 ^2 2 "l - ^3 2 7 ^i c i + V2 + ^3 C 3 
z1 
«1 C 1 + «2 C 2 + «3 C 3> &1 C 1 + ^2 C 2 4~ h0„ Cy 2 + Ci 1 + c 3 
somit wegen (12.) und (14.) 
A 2 = 
1; 0, 0 
0, 1, 0 
0, 0, 1 
die Determinante z/ ist hiernach entweder -j- 1 oder — 1. 
Zu demselben Ergebnisse gelangen wir durch die Überlegung, dafs 
der absolute Wert von 
Ì//J J C(/‘) y $3 
C l7 C 27 C 3 
den sechsfachen Inhalt der Pyramide darstellt, deren eine Ecke 0 im 
gemeinsamen Coordinatenursprunge liegt, und deren andere Ecken 
a, h, c in dem Coordiuatensysteme XYZ bezüglich die Coordinaten 
besitzen 
ö/j j 6^2 y $3 
&i, h 2 , 6 3 
C \ } c 21 C 3 > 
also eines Tetraeders, dessen Spitze im Ursprünge sich befindet und 
dessen andere Ecken auf den positiven Axen des Systems xyz im 
Abstande 1 vom Coordinatenanfangspuncte liegen. Da der sechsfache 
Inhalt dieses Tetraeders sonach 1 ist, so hat die Determinante A 
entweder den Wert -f- 1 oder — 1. 
Um die geometrische Bedeutung des doppelten Vorzeichens der 
Determinante A zu ermitteln, denken wir uns das obige Tetraeder 
durch einen Schnitt parallel der (XV)-Ebene des Systems XYZ in 
ein anderes verwandelt. Die Ecken dieses neuen Tetraeders, sowie 
deren Coordinaten wollen wir mit demselben, aber grofsen Buchstaben 
bezeichnen, wie die auf derselben Axe des Systems xyz gelegene