276 II. Abschn. Dreizehntes Capitel. Substitution u, Coordinatentransformation. 
Y-Axe überfülirt, oder wenn der Umlauf ABC dieser Drehrichtung 
entgegengesetzt ist und die Ebene ABC die negative Hälfte der 
Z-Axe schneidet; in den beiden übrigen Fällen ist in der obigen 
Formel das — Zeichen zu nehmen. A ist also in den beiden ersten 
Fällen -f- 1 und in den beiden anderen — 1. 
Denken wir uns nun um 0 eine Kugel mit dem Radius 1 ge 
zeichnet, so bestimmen die x-, y- und z-Axe auf derselben das 
Dreieck ah c; der Durchschnittspunct derselben mit der positiven 
Seite der X-, Y- und Z- Axe sei bezüglich aßy. Vom Mittelpuncte 
der Kugel aus stimmt nun die Richtung des Umlaufes ahc mit jener 
des Umlaufes ABC überein, und da diese in den beiden ersten Fällen 
mit der Richtung des Umlaufes aßy übereinstimmt, so ist dies auch 
mit jener der Fall. Es kann daher das A ahc mit dem congruenten 
aßy derart durch Verschiebung auf der Kugeloberfläche zur Deckung 
■gebracht werden, dafs a mit a, h mit ß und c mit y zusammenfällt. 
In den beiden anderen Fällen sind die Richtungen ahc und aßy 
entgegengesetzt und werden daher zwei Paare der homologen Ecken : 
a, a\ h, ß\ c f y auf einander gelegt, so liegen die dritten Ecken der 
beiden Drei^ke symmetrisch zu ihrer gemeinsamen Grundlinie. 
Wir gelangen somit zu folgendem Ergebnisse: 
Ist die Substitutionsdeterminante A gleich der posi 
tiv en Einheit, so können die beiden coucentrischen Coor- 
dinatensysteme derart zur Deckung gebracht werden, dafs 
die positiven Hälften ihrer gleichnamigen Coordinaten- 
axen zusammenfallen. 
Ist hingegen A gleich der negativen Einheit, so wer 
den, wenn die positiven Hälften zweier Paare gleich 
namiger Coordiuatenaxeu zusammenfallen, die entgegen 
gesetzten Seiten des dritten Paares einander decken. 
Je nachdem A — -1- 1 oder — 1 ist, gehen die Formeln (18.) 
über in; 
% “ zb (^2 C 3 ^2 ^3) 5 a 2 ~ dz (^1 c 3 c \ ^3) 5 % = i (^1 C 2 ^2 c i) 
h[ — {a 2 c s c 2%)j ^2 == dz(^i c 3 c i a ä) j ^3 == ziz (^1 ^2 a 2 c i) 
== i (®2fy} ^3^2)3 C 2=± ( a l & 3 ? £3 ==: ziz (^1 ^2 
II) Der Zusammenhang zwischen den Ebenencoordinaten der 
beiden rechtwinkligen Systeme ergiebt sich aus 
TJX + VY + WZ -f- 1 = ux + vy -f- wz -J- 1, 
wo also üf V, W die Coordinaten einer Ebene im Systeme X Y Z 
bedeuten und u, v, w die Coordinaten derselben Ebene für das System 
x, y, z sind. Durch Substitution der Werte in (10.) erhalten wir 
hieraus die Transformationsformeln