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§ 93, Übungen. 277 
u = ci j TI —{— a 2 U ~f - a-i TU 
v = 6, U -f & 2 F + & 3 TU 
w — c x ü -f- c 2 V -f- c 3 W. 
Vermöge der Formeln (17.) finden wir heraus: 
U — a x u -\-h x v -\- c x w 
V — a 2 u 4“ h 2 v -{- c 2 w 
W — a 3 u -J- b. Á v -f- C 3 W - 
Aus diesen Gleichungen folgt unmittelbar mit Rücksicht auf (12.) und 
(14.) ; oder (15.) und (16.) 
U 2 + V 2 + W 2 = u 2 + t; 2 -f- W 2 , 
während sich aus (10.) die selbstverständliche Identität ergiebt: 
X 2 + Y 2 + Z 2 = x 2 -j-f-j- z 2 , 
von welcher ausgehend wir umgekehrt die Formeln zur Transforma 
tion der Coordinaten zweier rechtwinkligen Systeme ableiten können. 
§ 93. 
Übungen. 
1) Sind zwei Paare collinearer Strahlenbündel gegeben: S¡ A 
und S 2 A S 2 , so können vermöge derselben die Geraden des Raumes 
einander dadurch eindeutig zugeordnet werden, dafs jeder Geraden 
als dem Durchschnitte zweier Ebenen eines der Bündelpaare die 
Durchschnittslinie der entsprechenden Ebenen der collinearen Bündel 
als entsprechende Gerade zugewiesen wird. Welches Gebilde ent 
spricht nun einer Ebene oder einem Puncte des einen räumlichen 
Systems im anderen? Bei welcher Lage der Bündel geht diese Ver 
wandtschaft in die Collineation über? 
Anl. Unter dem Gebilde, welches einer Ebene des einen Systems im 
anderen entspricht, wird das Gebilde verstanden, welches von den Geraden 
constituiert wird, die den Strahlen des ebenen Systems zugeordnet sind. 
Diese Geraden sind offenbar die Secanten einer Raumcurve der dritten 
Ordnung. Jedem Puncte, als dem Träger eines Strahlenbündels, entspricht im 
anderen Systeme im Allgemeinen eine lineare Congruenz. Auf jeder Geraden 
existieren jedoch zwei Puncte, für deren jeden die zugehörige Congruenz in 
einen Bündel degeneriert. In jeder Ebene bilden diese Puncte einen Kegel 
schnitt. Welche Fläche constituieren diese sämtlichen Puncte in jedem der 
beiden räumlichen Systeme? Was entspricht einem ebenen Strahlenbüschel oder 
einem Ebenenbüschel? 
2) Die analogen Untersuchungen durchzuführen mittelst zweier 
Paare collinearer ebener Systeme oder mittelst zweier Strahlenbündel, 
deren jedem ein reciprokes ebenes System zugeordnet ist. Unter 
welchen Bedingungen sind im letzteren Falle die beiden räumlichen 
Systeme reciprok?