282 II. Absphn. Dreizehntes Capitel. Substitution u. Coordinatentransformation. 
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«11 « ~f~ «12 ß ~4~ «13 y «g|0-f- «22 ß ~r «23 y 
_ «31« ~j~ «32 ß ~f~ «33V . 
y 
Setzt man den Wert dieser Verhältnisse gleich g, so ist derselbe durch die 
Gleichung bestimmt: 
«11 (?) «12) «13 
«21 > «22 9) «23 = 0, 
«31) «32) «33 Q 
welche § 74, 18 drei reelle Wurzeln besitzt. Welcher Art sind die Flächen dör 
zweiten Ordnung, für welche in der vorstehenden Gleichung für einen Wurzel 
wert die Subdeterminanten zweiten Grades verschwinden? 
12) Den Mittelpunct und die Axen einer Fläche der zweiten 
Ordnung durch Coordinatentransformation aufzufinden. 
Anl. Es werden zunächst durch Verschiebung des Coordinatensystems die 
Coefficienten von x, y und z zu Null gemacht und hierauf durch Drehung um 
den Anfangspunct des neuen Systems, den Mittelpunct der Fläche, die Coeffi 
cienten von xy, xz und yz zum Verschwinden gebracht. 
13) Das Polarsystem einer Kugel darzustellen. 
Anl. Aus den diesbezüglichen Gleichungen folgt unmittelbar, dafs die 
Verbindungslinie des Mittelpunctes der Kugel mit irgend einem Puncte senk 
recht steht auf der Polarebene des Punctes. Hieraus folgt unmittelbar, dafs 
alle Kugeln in der unendlich fernen Ebene dasselbe Polarsystem gemeinsam 
besitzen, oder, was dasselbe besagt, die unendlich ferne Ebene in demselben 
imaginären Kreise schneiden. Er wird der unendlich ferne Kugelkreis ge 
nannt. Und offenbar umgekehrt: Jede Fläche der zweiten Ordnung, 
welchedurch den unendlich fernen Kugelkreis geht, ist eineKugel, 
denn es steht dann jeder Durchmesser auf seiner conjugierten Ebene senkrecht. 
14) Durch eine Fläche der zweiten Ordnung wird in jeder Ebene 
ein Polarsystem induciert; wie oft ist dasselbe ein Kreissystem, d. h. 
ist seine Ordnungscurve ein Kreis? 
Anl. Der Richtung, welche in der Ebene mit den Coordinaten m, n, p 
liegt und mit der X- Y- und Z-Achse Winkel einschliefst, deren Cosinus bezüglich 
cc, ß, y sind, ist eine Durchmesserebene conjugiert, welche die Coordinaten 
besitzt: 
u _ «II « ~4~ «12 ß ~l~ «13 y 
«4i« H - «42 ß “h «43 y 
v _ «21« + «22 P ~f~ «23 y 
«41 « + «13 ß “1~ «43 y 
w __ «3i« ~f~ «32 ß ~h «33 y 
«41 «H - «42 ß + «43 y ’ 
während a, ß und y durch die Gleichung verbunden sin : 
ma -\- nß -\-py — 0. 
Aus der Bedingung, dafs die Richtung cc, ß, y auf der Durchschnittslinie der 
Ebenen u,v,w und m,n, p senkrecht stehen soll für alle Werte von cc, ß und y, 
welche dieser Gleichung genügen, ergeben sich Bestimmungsgleichuugen für 
m, n und p.