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§ 6. Übungen. 
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Puncte. 
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^ mpx t -f- npx a -f- mqx 2 -f- nqx t _ 
X ~~ (m + n) {p + q) 
= mpy 4 '-f npy 3 + mqy 2 + nqVj . 
J Qm -f n) (p + q) 
^ mpz a + npz 3 + mqz 2 -J- nqz i 
(m + n) (p -f q) 
3) Zieht man von irgend einem Punkte H die Strecken nach 
n festen Puncten und legt diese Strecken, ohne ihre Richtung und 
Länge zu ändern, derart an einander, dafs der Endpunct einer jeden 
jedesmal der Anfangspunct der nächstfolgenden wird, und macht B 
zum Anfangspuncte der ersten, so geht die Verbindungslinie von B 
mit dem letzten Endpuncte durch einen festen Punct S, welcher 
von dieser nach dem Puncte B zu den n ie(i Theil abschneidet. Dieser 
Punct, dessen jede Coordinate das arithmetische Mittel der gleich 
artigen Coordinateli aller n fixen Puncte ist, heifst die Mitte der 
n Puncte oder auch der Punct der mittleren Entfernungen. 
xyz seien die Coordinaten des Punctes R; x l y 1 z l , x 2 y 2 z 2 ■ • ■ x n y n z n die 
der n fixen Puncte A,, Ä 2 • • • A n ; die Coordinaten der neu construierten 
(n — 1) Puncte A 2 , A 3 ' • ■ • A n " kann man auf verschiedene Weise finden. So 
kann man die von A 2 dadurch berechnen, dafs man die Coordinaten des Mittel- 
punctes des Parallelogramms R A t A 2 A 2 nach (1) auf zwei Arten, einmal durch 
die der Gegenecken R, A 2 und dann durch die von A t , A 2 ausdrückt; man 
erhält auf diesem Wege für die x-Coordinate die Relation 
x i + X 2 X + x 2 
2 2 ’ 
also 
x 2 = a?, -|- x 2 — x . 
Zu demselben Ausdrucke gelangt man auch unmittelbar durch die Formel 
l 2 cos a — x — x 2 — x x — x 2i 
wo l 2 die Strecke RA 2 und a den Winkel bedeutet, den diese Strecke mit der 
x ■ Axe bildet. 
Auf dieselbe Weise erhält man 
x 3 = x 2 -f- x 3 — x = x x -j- x 2 -f- x 3 — 2x 
x i — x 3 + x i — x — x t + x 2 + x 3 -p a? 4 — 3x 
x n =2 x k -{n-l)x. 
k~1 
Der nach (1) der auf der Geraden RA' n liegende Punct 
_ x n + ( n — C x 
n 
Vn + (w — 1) y 
V = 
n 
. «* + (»»—0* 
te, dessen