16 I. Abschnitt. Erstes Capitel. Einleitung, 
ist also der Punct S und hat die Coordinaten 
n n n 
n 
n 
ist somit unabhängig von dem Puncte H. 
Zusatz. Verbindet man die Mitte von n festen Puncten mit einem 
derselben, so liegt auf dieser Geraden die Mitte der übrigen (n — 1) fixen 
Puncte und zwar über die Mitte der n Puncte hinaus von ihr um 
Sind £, 7j, £ die Coordinaten der Mitte S der n Puncte und x i y i z i die 
Coordinaten eines derselben A- t , so Hegt nach (1) der Punct S t mit den Coor 
dinaten 
nri — y-f n %— z i 
— X, 
n 
ll = 
n — 1 
auf der Geraden SA i über S hinaus derart, dafs 
S t S : SA i — 1 : O— 1); 
In Vii sind aber die Coordinaten der Mitte der n festen Puncte mit Aus- 
schlufs des Punctes A-. 
I 
Hieraus ergiebt sich auch umgekehrt ein Verfahren, um aus der 
gegebenen Mitte eines Punctvereines von (n — 1) Puncten die des 
um einen willkürlichen Punct vergrösserten Vereines zu construieren. 
Man wird die Entfernung, der Mitte der (n — 1) Puncte von diesem 
Puncte im Verhältnisse 1 : (n — 1) teilen: der Teilungspunct ist die 
gesuchte Mitte. 
Aus dieser Construction fliefst weiter der Satz: 
Verbindet man die Mitte von je {n — 1) Puncten mit dem 
jeweilig ausgeschiedenen w len , so schneiden sich alle diese Geraden 
in einem einzigen Puncte, der Mitte der n Puncte, und werden in 
demselben im Verhältnisse 1 : (n — 1) geteilt. 
In diesem Satze sind als specielle Fälle die bekaunten enthalten, 
dafs sich die Schwerlipien eines Dreiecks und einer Pyramide in 
einem Puncte schneiden. 
Als Übung wäre auch der directe Beweis derselben durch wiederholte 
Anwendung von 1) zu empfehlen. 
4) Ist S die Mitte eines Vereines von n, 8' die eines von m Puncten, 
so teilt die Mitte E aller Puucte die Gerade 88' im Verhältnisse 
8 E : ES'= m : n . 
Aum. 1. Es ist hiermit klar, wie man vermöge dieses Satzes 
aus den Mitten mehrerer Punctvereine die Mitte der Gesammtheit aller 
Puncte construieren kann. 
Anm. 2. Wendet man diese Construction in der Aufgabe 2 a an,