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§ 6. Übungen. 17 
lit einem 
1) fixen 
ihr um 
so ergiebt sich, dafs jede der dortigen Geraden im Schwerpuncte des 
Tetraeders halbiert wird. 
5) Die Summe der Quadrate der Entfernungen von n Puncten von 
ihrer Mitte ist gleich der Summe der Quadrate der Radieuvectoren aller 
Puncte, weniger dem n- fachen Quadrate des Radiusvectors der Mitte. 
(Man beziehe die Puncte auf ein rechtwinkliges System.) 
6) Die Summe der Quadrate der Abstände irgend eines Punctes 
von n anderen ist gleich der Summe der Quadrate der Abstände 
dieser Puncte von ihrer Mitte, vermehrt um das n-fache Quadrat 
■iVi z i die 
en Coor- 
des Abstandes jenes Punctes von der Mitte. 
7) Projiciert man irgend einen geschlossenen Zug gerader Linien 
auf eine Gerade, so ist die Summe dieser Projectionen der einzelnen 
Strecken Null. 
mit Aus- 
Bezeichnen daher , l 2 . . . l n die Strecken des Linienzuges und 
[g, Zj), (g, l 2 ) . . . (g, l n ) die Winkel, welche die positive Richtung jeder 
derselben mit jener einer beliebigen Geraden g bei positiver Dreh 
richtung einschliefsen, so ist 
l x cos {g, l t ) + l 2 cos (g, l 2 ) -f • • • -f l n cos (g, l n ) = 0 . 
aus der 
die des 
ruieren. 
diesem 
ist die 
8) Mittelst dieser Formel lassen sich die in den vorhergehenden 
Paragraphen für rechtwinklige Coordiuatensysteme abgeleiteten Aus 
drücke leicht auf schiefwinklige ausdehuen. 
Dieselben ergeben sich aus der folgenden in (7.) enthaltenen Grundformel. 
Projiciert man den geschlossenen Linienzug, der aus den schiefwinkligen 
Coordinaten x, y, z eines Punctes und seinem Radiusvector r zusammengesetzt 
wird, auf eine Gerade g, so ist 
it dem 
Geraden 
’den in 
x cos (g, X) + y cos (g, Y) + z cos (g, Z) = r cos (rg),. 
wo also (g, X), {g, Y,) (g, Z) die im obigen Sinne genommenen Winkel sind, welche 
die Gerade g bezüglich mit der X-, Y- und Z-Axe bildet. 
Läfst man g der Reihe nach mit der X-, Y-, Z-Axe und dem Radiusvector 
thalten, 
lide in 
zusammenfallen, so fliefsen hieraus die vier Relationen; 
r cos (Xr) = x -f- y cos (YX) -f- z cos (ZX) 
r cos (Fr) = x cos (XY) -J- y -\- z cos (ZY) 
Jerholte 
r cos (Zr) = x cos (XZ) -f- y cos (YZ) + z 
r = x cos (Xr) -j- y cos (Fr) -|- z cos (Zr) , 
mieten, 
iltnisse 
welche die vier Unbekannten r, <)(Xr, Fr, Zr enthalten. Für dieselben 
ergeben sich 
r 2 — x 2 -j- ?/ 2 + -f- 2xy cos (XF) -f- 2xz cos (XZ) 2yz cos (YZ) 
Satzes 
it aller 
. x 4- y cos (FX) -f- z cos (ZX) 
cos (Xi-) = — — — — 
v r 
. x cos (XF) 4- y 4- z cos (Z F) 
co» (Fr) = ! i L 
2 a an, 
rrr , x cos (XZ) 4- y cos (YZ) 4- z 
COS (Zr) — 5 : — . 
J r 
Escherioli, Einleitung i. d. anal. Ueom. d. Raum. 2 
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