Zweites Capitel. 
Die Ebene und die lineare Gleichung. 
§ 7. 
Die Gleichung der Ebene. 
Es ist unmittelbar klar, dais die drei Coordinateli des Puñetes 
einer Ebene nicht von einander unabhängig sein können. Und in 
der That nimmt man zwei derselben etwa x und y willkürlich an, 
so ist die dritte 0 unzweideutig bestimmt, wie die Construction der 
selben zeigt. Es stehen also die Coordinateli irgend eines Puñetes 
einer Ebene in einer derartigen Abhängigkeit von einander, dais 
durch zwei derselben stets die dritte und zwar eindeutig bestimmt 
ist. Es müssen also die drei Coordinateli durch eine und nur eine 
einzige Gleichung mit einander verbunden sein, welche wegen der 
eindeutigen Bestimmbarkeit nach jeder Coordinate linear sein wird. 
Diese Behauptung bestätigt auch die früher gewonnene Formel für 
den Inhalt einer Pyramide. Denn sieht man darin den einen Punct 
als variabel au, während man den Inhalt Constant läfst, so beschreibt 
derselbe eine zur Grundfläche der Pyramide parallele Ebene. Es 
stellt also unter diesem Gesichtspuucte die Formel den Zusammen 
hang der einem Puñete dieser Ebene zugehörigen Coordinateli dar. 
Die nämliche Thatsache erhellt auch noch in anderer Weise aus 
unserer Formel, Betrachtet man nämlich darin den einen Punct als 
beweglich und den Inhalt als variabel, so verschwindet der letztere, 
so oft der Punct in die Ebene der drei anderen Ecken der Pyramide 
zu liegen kommt, und umgekehrt, so oft der Inhalt verschwindet, 
fällt der Punct in diese Ebene. Es stellt also der gleich Null ge 
setzte Ausdruck den Zusammenhang der Coordinateli von vier Puncten 
einer Ebene dar und dieser Ausdruck ist linear nach den Coordinateu 
eines jeden der vier Puñete, 
Die Gleichung der Ebene, d. i. der Zusammenhang der Coordi 
nateli irgend eines Puñetes derselben, läfst sich auch ohne Benutzung 
jener Formel für den Inhalt der Pyramide in einfacher und unmittel 
barer Weise, ivie jetzt gezeigt werden soll, herleiteu. 
Es gehe zunächst die Ebene nicht durch den Anfangspunct des 
rechtwinkligen Coordinatensystems. x, y, z seien die Coordinateli 
irgend eines ihrer Puñete, r sei der Radiusvector desselben und a, 
ß y y die Winkel, welche derselbe bezüglich mit der X-, Y- und Z-Axe 
bildet. Ist dann p der Abstand der Ebene vom Coordiuateu-Anfangs- 
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