§ 8. Discussion der Gleichung der Ebene. 23 
Ebene durch den Coordinaten-Anfaugspunct, so mufs D = 0„sein, 
da ihre Gleichung für x = 0, y — 0, 0 = 0 erfüllt sein mufs. 
Ist in der Gleichung der (Töefficient irgend einer Coordinate 
Null, so stellt jeder Wert dieser Coordinate mit irgend welchem 
die Gleichung befriedigenden Wertepaare der beiden anderen Coor 
dinateli einen Punct der Ebene dar. Diese Wertepaare selbst ge 
hören aber, nach dem Vorhergehenden, den Durchschuittspuncten der 
Ebene mit der Ebene dieser Coordiuaten an. Zieht man also in 
irgend einem Puncte dieser Durchschnittslinie der beiden Ebenen 
eine Parallele zur dritten Axe, so ist jeder Punkt dieser Parallelen 
ein Punct der Ebene, somit liegt dieselbe ganz in der Ebene. Es 
ist daher die Ebene dieser Axe parallel. 
Dasselbe ergiebt sich auch, wenn man die Durchschnittslinie der 
Ebene mit einer der beiden Coordinatenebenen sucht, deren Coor- 
dinaten in der Gleichung der Ebene Vorkommen. Man findet, dafs 
•dieselbe der Axe, in welcher sich diese beiden Coordinatenebenen 
schneiden, parallel ist. Das Gleiche kann man auch aus dem Un 
endlichwerden eines der drei Abschnitte a, h, c schließen. Ist 
z. B. A — 0, also 7 . . n . j. n 
’ ßy -f Cz -f- D == 0 
die Gleichung der Ebene, so stellt dieselbe in der (FZ)-Ebene, be 
zogen auf das Coordinatensystem OYZ, die Durchschnittslinie dieser 
beiden Ebenen dar. Ist nun yz ein Punct dieser Geraden, so gehört 
dieses Wertepaar in Verbindung mit jedem beliebigen x einem Puncte 
der Ebene an, da diese drei Coordinatenwerte der Gleichung der 
Ebene genügen. Mau erhält aber den betreffenden Punct der Ebene, 
indem man durch den Punct yz der Geraden eine Parallele zur dritten 
Axe zieht und darauf von ihm aus das zugehörige x aufträgt. Da 
nun jedes x einen Punct der Ebene darstellt, so liegt also die ganze 
Parallele in dieser Ebene. 
Sucht man den Durchschnitt der Ebene z. B, mit der (X F)-Ebene, 
so erhält man als Gleichung dieser Geraden, bezogen auf das Coor- 
diuatensystem OXY: ^ 
V = ~ B ’ 
somit ist diese Durchschnittslinie der X-Axe parallel. Dasselbe folgt 
auch aus a = oc, da hiernach die Ebene die X-Axe im unendlich 
fernen Puncte schneidet. 
Ist D und der Coefficient einer Coordinate in der Gleichung 
Null, so mufs die Ebene durch den Coordinaten-Anfangspunct gehen 
und der dieser Coordinate zugehörigen Axe parallel sein; die Ebene 
geht somit durch diese Axe. So enthält z. B. die Ebene ßy -f- Cz = 0 
die X-Axe.