§ 9. Fortsetzung. 
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oder 
q (0 • cos a 4 0 • cos /3 —(— 0 • cos y) -f- D — 0 
o . p + I) = 0, 
woraus q = oo folgt. 
Diese Bemerkungen beantworten eine weitere wichtige Frage in 
Betreff der unendlich fernen Ebene. Die Gleichung einer gegebenen 
Ebene ist offenbar abhängig von dein zu Grunde gelegten Coordinaten 
systeme, und die Gleichung Ax 4 By + Gz -f- D = 0 wird für zwei 
verschiedene Coordinatensysteme auch zwei verschiedene Ebenen im 
Allgemeinen darstellen. Ist nun A — B — C — 0, d. h, die Ebene 
die unendlich ferne, so fallen beide Ebenen zusammen; denn nach 
dem Vorhergehenden liegen ‘die unendlich fernen Puncte aller Ge 
raden und somit auch die der Axen beider Systeme in einer und 
derselben Ebene, und diese ist bezüglich jedes der Coordinatensysteme 
die unendlich ferne Ebene. 
Es ist somit die unendlich ferne Ebene unabhängig 
von der Wahl des Coordiuatensystems. 
§ 9. 
Fortsetzung. 
1) Da die Gleichung der Ebene drei von einander unabhängige 
Constanten, die Verhältnisse dreier der Gröfsen A, B, C, D zu 
derselben vierten, enthält, so wird dieselbe durch jede Annahme fest- 
gelegt, welche zur Bestimmung dieser Constanten drei von einander 
unabhängige Gleichungen liefert. Also z. B. durch drei Puncte, die 
nicht in derselben Geraden liegen. 
Es seien x n y l} z t ; x 2 , y 2 , z 2 \ x 3 , y 3 , z 3 die Coordinateli der 
drei gegebenen und x, y, z bezeichnen die Coordinaten eines vierten 
Punctes der gesuchten Ebene. Dann müssen die vier Gleichungen 
zusammen bestehen: 
ux -f- vy + wz -f- 1 = 0 
UX[ -p v y| -j— WZ| -j— 1 — 0 ^ 
(1.) 
ux 2 + vy 2 -f- WZ 2 4-1=0 
u x 3 —p ^ Vs “f- w z 3 4~ 1 == 0 
A B 4 
D 7 D’ D 
wenn mit u, v, tv die unbekannten Verhältnisse 
^ der Con- 
stauten der gesuchten Ebene bezeichnet werden. Diese vier Gleich 
ungen können aber nach bekannten Sätzen nur dann zusammen be 
stehen, wenn ihre Determinante verschwindet, wenn also 
(2.) 
= 0.