30 I. Abschnitt. Zweites Capitel. Die Ebene und die lineare Gleichung. 
und A l; A 2 constante Gröfsen sind,, so geht die Ebene, 
deren Gleichung 
AjE x -\- X 2 E. 2 = 0 
ist, durch die Schnittlinie der beiden Ebenen hindurch. 
Dieser Satz läfst sich auch umkehren: 
Sind E t = 0 und E 2 = 0 die Gleichungen zweier Ebenen, 
so lassen sich für jede Ebene, welche durch ihre Schnitt 
linie hindurch geht, zwei Constante auffinden, derart, 
dafs ihre Gleichung in der Form 
l x Ey -f l 2 E 2 = 0 
dar gestellt werden kann. 
Behufs des Beweises haben wir blos zu zeigen, dafs sich in dem 
Ausdruck E i -f- l. 2 E 2 die Gröfsen A, und 1. 2 derart bestimmen lassen, 
dafs die Ebene A, E x -f- l. 2 E 2 — 0 mit der gegebenen E = 0 zusammen 
fällt. Da die Ebene lyE { -f- l 2 E 2 — 0, ebenso wie E = 0, durch die 
Schnittlinie von E { — 0 und E 2 = 0 hindurchgeht, so fällen beide 
Ebenen zusammen, wenn wir ly und A 2 so wählen, dafs die Ebene 
AjE x -¡- l 2 E 2 — 0 noch durch einen weiteren, willkürlich anzuneh 
menden Punct der Ebene E — 0 hindurchgeht. Bezeichnet man 
mit {E x ) und (JE 2 ) das Resultat der Substitution der Coordinaten des 
angenommenen Punctes bezüglich in E { und E. 2 , so ist der gesuchte 
Wert von ly und l 2 gegeben durch 
A t {Ey) -j- A 2 (Jf 2 ) = 0 
oder 
b __ (Ag) 
*2 № ‘ 
Es läfst sich somit E in der Form darstellen 
№) e x ~{e a )e % =* o. 
Den beiden Sätzen kann man auch die folgende Fassung gelten: 
Wenn zwischen den Gleich ungen dreier Ebenen E x = 0, 
E 2 = 0, E 3 — 0 vermöge dreier constanten Factoreu A,, A 2 , A 3 
die Identität obwaltet: 
lyEy -j- A 2 E 2 —(— l 3 E. A = 0, 
so schneiden sich die drei Ebenen in einer Geraden. 
Und umgekehrt: Schneiden sich drei Ebenen E x — 0, 
E. t — 0, E 2 — 0 in einer Geraden, so lassen sich stets drei 
Constanten A,, A„, A 3 derart bestimmen, dafs die Iden 
tität besteht; 
ly Ey -(- l 2 E 2 + = 0. 
Denn hiermit wird nur behauptet, dafs in diesen beiden Fällen E 2