§. 11. Fortsetzung. 
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sich in der Form: ! E ] — ' 2 E 2 , dafs also die Gleichung der Ebene 
E s = 0 sich in der Form /1, E t 1 2 E 2 = 0 darstellen lasse. Was im 
Vorhergehenden bewiesen wurde. 
§ 11. 
Fortsetzung. 
Soll eine Ebene durch nur einen gegebenen Punct x i} ?/,, z t 
gehen, so sind die u, v, w an die Bedingung geknüpft 
UX x -f" vy l -f- Wgi 4-1=0, 
und vermöge dieser Gleichung läfst sich aus der angenommenen 
Gleichung der gesuchten Ebene 
ux 4~ vy 4- 4“ 1 = 0 
eine der Gröfsen u, v, w eliminieren, während die beiden anderen 
willkürlich bleiben. Eliminiert man etwa u, so erhält man aus 
der Bedingung des Zusammenbestehens der beiden Gleichungen als 
Gleichung der Ebene 
x, vy 4- wz 4- 1 
, v>Vi + we x 4- 1 
welche Determinante sich in die Summe dreier zerlegen läfst. Die 
Gleichung der Ebene nimmt hierdurch die Form an 
v 
X j , Zj j j X j, 1 
Offenbar geht auch umgekehrt jede Ebene, deren Gleichung auf 
diese Form gebracht werden kann, durch den gegebenen Punct, da 
die Substitutioii der Coordinaten des Punctes an Stelle der x, y, z 
jede Determinante zu Null macht. Läfst man daher v und w alle 
Werte von — oo bis 4~ °° durchlaufen, so erhält man die Gesammt- 
heit aller Ebenen, deren jede durch den Punct x, y, z hiudurchgeht. 
Hieraus folgt, dafs die Coefficienten von v, w und das dritte Glied 
der Gleichung Null gesetzt, Ebenen darstellen, deren jede durch den 
gegebenen Punct hindurchgeht, da diese Gleichungen aus der obigen 
für bestimmte Werte von v und w sich ergeben. Diese Ebenen 
haben ganz specielle Lagen gegen das C.oordinatensystem; es ist aber 
leicht einzusehen, dafs dieselbe Verbindung der linken Seiten der 
Gleichung irgend dreier Ebenen, welche durch den gegebenen Punct 
hindurchgehen, ohne sich in einer Geraden zu schneiden, gleich Null 
gesetzt, eine vierte derartige Ebene darstellt, wie es der nachfolgende 
Satz ausspricht. 
Sind E x — 0, E 2 = 0, E. s — 0 die Gleichungen dreier