§ 12. Aufgaben über die Ebene. 
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Wir können diese beiden Sätze auch in der folgenden Fassung 
aussprechen, die manchmal eine unmittelbare Anwendung gestattet: 
Wenn zwischen den linken Teilen der Gleichungen 
E x — 0, E 2 — 0, E, = 0, E 4 — 0 von vier Ebenen vermittelst 
der Coustanten k l} h 2 , h 4 die Identität stattfiudet 
E x k 2 E 2 -f- fl*E % Jc 4 E i = 0, 
so schneiden sich diese vier Ebenen in einem Pmiete. 
Und umgekehrt: 
Wenn E t — 0, E 2 — 0, E 3 — 0, E 4 — 0 die Gleichungen von 
vier Ebenen sind, welche sich in einem Puncte schneiden, 
so lassen sich stets vier Constante k x , h 2 , der Art be 
stimmen, dafs die Identität obwaltet 
Jc i E x -j- k 2 E 2 -j- & 3 Eo + & 4 E 4 = 0 . 
Denn diese Sätze behaupten nur, dais in den angegebenen Fällen 
die linke Seite der Gleichung der Ebene E 4 = 0 von der Form 
— E. —~E 2 — I 5 Eo, also ihre Gleichung 
-f- k 2 E 2 -f- h s E ä — 0 
ist. 
§ 12. 
Aufgaben über die Ebene. 
1) Bedingung, dafs zwei Ebenen parallel sind. 
Aus der Normalform der Ebene kann man unmittelbar die Form 
der Gleichung der zu einer gegebenen parallelen Ebene ableiten. 
Denn die Coefficienten der x, y, z in der Normalform der Ebene 
bedeuten die Cosinusse der Winkel, welche die Ebene mit den Coor- 
dinatenebeneu bildet, und müssen daher in den Gleichungen der 
beiden Ebenen einander gleich sein. Nun geht aber die allgemeine 
Gleichung der Ebene 
Äx -\-By-\-Cz-\-I) = 0 
in die Normalform durch Multiplication mit der allgemeinen Wurzel- 
gröfse 1 über; soll daher diese Ebene mit der Ebene 
ö VA* + G* 5 . * 
A'x -f- E'y -f- G's -f- Z>'= 0 
parallel sein, so mufs 
A A' g B B’ 
Va* 4- b 2 -fW* ~~ Va'* + W*~+er 2 ’ Va*+b*-f 6 ,a — Va'*+b'*+ c 2 ’ 
c c 
Va? + -B a 4- c 2 ~~ VA* 4- B' % 4- CT 2 ’ 
woraus folgt 
Escherich, Einleitung i, d. anal. Geom. d. Kaum. 
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