§ 12. Aufgaben über die Ebene. 
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Qg. 
§ 12. Aufgaben über die Ebene. 35 
(1.) 
3) Den Winkel zu berechnen, den zwei durch ihre 
Gleichungen gegebenen Ebenen mit einander einschliefsen. 
vorher- 
für die 
;ken: 
Wir fanden (§ 7, 3), dafs die Winkel a, ß, y, welche die Nor 
male vom Coordinaten-Anfangspuncte auf die Ebene 
Ax By -j- Cs -{- D = 0 
langen 
3li blos 
i d um- 
bezüglich mit der X-, Y- und Z-Axe bilden, durch die Formel ge 
geben werden 
A 
leichung 
b. in der 
ärgehen- 
iren aus 
eue sich 
, cos a = 
Va 2 + b 2 + g 2 
a B 
cos p = 
r Va 2 + b 2 + c 2 * 
c 
cos y — , 
1 Va 2 + b 2 +c 2 
ig einer 
wo für die allgemeine Wurzelgröfse ]/A l -f- B 2 -f- C 2 jenes Vorzeichen 
zu nehmen ist, für welches — positiv wird. 
VA 2 + B 2 + C 2 r 
Die analogen Winkel a, ß', y, welche die Normale auf eine 
zweite Ebene: 
A'x -f- B'y + C'z -f- B'= 0 
mit den Axen bildet, sind wieder durch die Ausdrücke gegeben: 
td daher 
aet man 
mng der 
, Ä 
COS _ — 
VA' 2 -f B' 2 + G' 2 
a , B' 
r VA' 2 + B' 2 + C’ 2 
r er 
cos y — =, 
fA' 2 + B' 2 + C 2 
ebenen 
1 ist. 
ctes und 
wo das Zeichen der Wurzel in der angegebenen Weise genommen 
wird. Somit ist der Winkel den diese beiden Normalen bilden, 
und also der gesuchte Neigungswinkel der beiden Ebenen, nach 
(§ 4, 3) durch den Ausdruck bestimmt: 
die Form 
cos tf — cos a cos a -f- cos ß cos ß'-f- cos y cos y 
AÄ+ BB'+ CG' 
VA 2 + B 2 + G 2 . Va’ 2 -\~B' 2 + C’ 2 
t werden 
diese Be- 
Hieraus folgt: Die beiden Ebenen stehen auf einander senk 
recht, wenn zwischen ihren Constanten die Relation 
besteht: 
ii'+ BB'+ CC'= 0, (3.) 
(2.) 
da dann cos = 0 sein mufs. 
Sollen die beiden Ebenen parallel sein, so mufs ü = 0 sein, und 
somit 
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