37 
§ 12. Aufgaben über die Ebene. 
s = *! + (;■, y = yi + v, * = «i4-§- 
Die Gleichung der gegebenen Ebene: 
Äx + By -j- Cz -f- D = 0 
transformirt sich durch diese Ausdrücke in die Gleichung der Ebene 
bezüglich des neuen Systems; 
A£ 4" Brj C£ -f- (ÄXj + By x -f- Cz x -f- B) = 0. 
Hieraus erhalten wir den absoluten Wert des Abstandes A der Ebene 
vom Anfangspuncte des neuen Systems, indem wir das in der Gleichung 
der Ebene von den laufenden Coordinaten rj, t, negative freie Glied 
durch j/Ä 2 -j- B 2 -f- C 2 dividieren und der Wurzel jenes Zeichen bei 
legen, durch welches dieser Quotient positiv wird. Also stellt 
1 Ax x 4~ Cz x -f- Z) 
± yA 2 + B 2 -\- C 2 
den absoluten Abstand des gegebenen Punctes von der gegebenen 
Ebene dar. 
Somit: Der absolute Wert des Abstandes eines Punctes 
von einer Ebene wird erhalten, indem man in dem nega 
tiven linken Teile ihrer Gleichung die Coordinaten des 
Punctes an Stelle der laufenden substituiert und diesen 
Ausdruck mit jener Quadratwurzel aus der Summe der 
zweiten Potenzen der Coefficienten der Coordinaten in 
der Gleichung der Ebene dividiert, welche diesen Quo 
tienten positiv macht. 
Der obige Ausdruck für A wird nur dann Null, wenn der Punct 
x 1} y x , 0j in die gegebene Ebene fällt. Legen wir daher der Wurzel- 
gröfse in A ein bestimmtes festes Zeichen bei, so kann A bei Än 
derung des x, y, 0 nur dann sein Zeichen wechseln und ändert es 
immer dann, wenn der Punct von der einen Seite der Ebene auf die 
andere übergeht. Es hat somit unter dieser Voraussetzung A für 
alle Puncte, die auf der einen Seite der Ebene liegen, einen positiven, 
für alle auf der anderen Seite derselben einen negativen Wert. Wählen 
wir das fixe Zeichen der Wurzel z. ß. derart, dafs ^ 
VA 2 -f B 2 4- c 2 
positiv wird, also dieser Ausdruck dem positiven Werte des Ab 
standes des Coordinaten-Anfangspunctes von der Ebene gleich ist, so 
liefert A für alle Puncte des Raumes, die mit dem Anfangspuncte 
auf derselben Seite der Ebene liegen, die positiven, für alle Puncte 
auf der anderen Seite derselben die negativen Werte ihrer Abstände 
von dieser Ebene. 
Ist die Gleichung der Ebene in der Normalform gegeben