§ 15. Discussion der Gleichung eines Puñetes. 
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§. 16. 
Fortsetzung. 
Da die Gleichung des Punctes drei von einander unabhängige 
Constante, die Verhältnisse dreier der Gröfsen A,JB,C,D zu der 
selben vierten, enthält, so wird derselbe durch jede Annahme fest 
gelegt, welche zur Bestimmung dieser Constanten drei von einander 
unabhängige Gleichungen liefert. Also z. B. durch die Annahme, 
dafs er in drei Ebenen Hege, die sich nicht in derselben Geraden 
schneiden. 
Es sei 
ux -f- vy -f- WZI +1=0 (1.) 
die Gleichung des gesuchten Punctes x, y, z, der aus der Annahme 
bestimmt werden soll, dafs er in drei Ebenen liege, die bezüglich 
die Ebenencoordinaten u x ,v x ,w x \ u 2 ,v 2 ,w 2x u 3 ,v 3) w s haben. Da 
er in jeder dieser Ebenen liegt, so erhält mau zur Bestimmung seiner 
Coordinaten x, y, z die drei Gleichungen 
u x x + v x y + w x z + 1=0 
u 2 x + v 2 y + w 2 z + 1 =0 
% x + v 3 y + w % z + 1 = 0. 
Die sich hieraus ergebenden Werte dieser Coordinaten in die 
angenommene Gleichung (1.) substituiert, liefern dann die Gleichung 
des Punctes. Dieselbe ergiebt sich aber auch unmittelbar aus der 
Bedingung, dafs die vier obigen Gleichungen zusammen bestehen 
sollen, welche durch das Verschwinden ihrer Determinante ansgedrückt 
wird. Denn da u, v, w die Coordinaten irgend einer Ebene, welche 
durch den gesuchten Punct geht, bedeuten, so sind die Ebenencoor 
dinaten jeder dieser Ebenen durch die Gleichung an einander ge 
bunden: 
u, 
v, 
w, 
1 
u x , 
v \, 
Wp 
1 
u 2 , 
« 2 , 
w 2 , 
1 
1 
Wo, 
1 
und diese ist somit die gesuchte Gleichung des Punctes, in welchem 
sich die drei Ebenen schneiden. 
Entwickelt man diese Determinante nach den Elementen der 
ersten Zeile, so findet man mittelst der angegebenen Regeln für die 
Coordinaten des durch die Gleichung dargestellten Punctes; 
Esch erich, Einleitung i. d. anal. Geom. d. Kaum 4