§ 16. Fortsetzung. 55
A, und A 2 constante Gröfsen, so liegt der Punct, dessen
Gleichung auf die Form
A^ + A.P^O
gebracht werden kann, auf der Verbindungslinie der
be i den Puncte.
Behufs des Beweises ist nur zu zeigen, dafs jede Ebene, welche
durch die beiden Puncte F x — 0 und P 2 = 0 liindurchgeht, auch den
Punct AjP, -J- A., P 0 = 0 enthält. Dies ist aber erwiesen, sobald ge
zeigt werden kann, dafs die Substitution der Coordiuaten einer Ebene,
welche sowohl durch den Punct F x — 0 als auch P 2 — 0 liindurchgeht,
den Ausdruck A,P, -f- A 2 P 2 zu Null macht. Dies ist aber thatsächlich
der Fall, da für die Coordiuaten einer solchen Ebene sowohl F x als
P 2 verschwindet.
Von diesem Satze gilt auch die Umkehrung:
Liegt ein Punct auf der Verbindungslinie zweier
Puncte, deren Gleichungen F x = 0 und P 2 = 0 seien, so
lassen sich stets zwei constante Factoren A, und A 2 von
der Art auffinden, dafs die Gleichung dieses Punctes auf
die Form
A + A 2 P 2 = 0
gebracht werden kann.
Der Beweis dieser Behauptung kann in folgender Weise geführt
werden. Der Punct X x P x -f- A 2 P 2 == 0, wo Ä x und A 2 erst zu be
stimmende Constante seien, liegt auf der Verbindungslinie der Puncte
Pj = 0 und P 2 == 0. Legt mau nun durch den gegebenen Punct
irgend eine Ebene, so lassen sich diese Constanten derart bestimmen,
dafs der Punct A[P t -f- A 2 P 2 = 0 ebenfalls in dieser Ebene liegen,
also mit dem gegebenen Puncte zusammenfallen mufs. Man hat zu
diesem Zwecke blos X x und A 2 der Bedingung zu unterwerfen, dafs
die Coordiuaten dieser Ebene die Gleichung des Punctes
AiPi + A 2 P 2 = 0
erfüllen. Bezeichnet man daher mit (F x ) und (P 2 ) die Substitutions
resultate der Coordiuaten dieser Ebene bezüglich in P, und so
ist der gesuchte Wert des Verhältnisses A 1 : A 2 :
L (-P2) f
L (P1) ’
die Gleichung des Punctes selbst stellt sich sonach in der Form dar
P, (P 2 )-P 2 (P 1 ) = 0.
Den vorstehenden beiden Sätzen können wir a*ch die folgende
Fassung geben:
Besteht zwischen den Gleichungen dreier Puncte
