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L Abschnitt. Drittes Capitel. Der Punct. 
seine Gleichung in der Normalform, und U, V, W seien die Coordi- 
naten der gegebenen Ebene. 
Die Gleichung der Ebene ist dann 
Ux + Vy -f- Wz +1=0 
und daher nach § 12, 5 ihr Abstand /1 vom Punkte £, 97, £ 
_ §P+??F+£TF+1 
PV 2 +F 2 +TF 2 ’ 
wo der Wurzel das positive Zeichen beizulegeu ist. Der Zähler un 
seres Ausdruckes ergiebt sich aber aus der Punctgleichung, indem 
wir darin an Stelle der laufenden Ebenencoordiuaten u, v, w bezüg 
lich jene der gegebenen Ebenen U, V, W substituiréis Somit er 
halten wir die Regel: 
Dividirt mau den negativen linken Teil einer in der 
Normalform gegebenen Gleichung eines Puñetes durch 
+ ]/ U' -}- V 2 + W 2 , so erhält man den senkrechten Abstand 
des Puñetes von der Ebene, deren Coordinaten U, V, W 
sind. 
Hieraus ergiebt sich unmittelbar die geometrische Bedeutung des 
Verhältnisses der Parameter, vermittelst welcher die linke Seite der 
Gleichung eines Puñetes, der auf der Verbindungslinie zweier anderen 
liegt, aus dem linken Theile der Gleichungen der letzteren zusam 
mengesetzt wird. 
Es seien P, = 0 und P 2 = 0 die Gleichungen dieser Puñete in 
der Normalform, und P 3 = A, P 1 + A 2 P 2 die Gleichung des auf 
ihrer Verbindungslinie liegenden Puñetes. 
Legen wir durch den Punct P 3 eine Ebene E, deren Coordinaten 
U, V, W seien und sind die senkrechten Abstände derselben von 
P, und P 2 bezüglich p x undjp 2 , so folgt, da U, V, W der Gleichung 
Aj P, + A 2 P 2 = 0 genügen: 
; Pi i ; P* f) 
1 PC/*+F 2 +TF 2 "* 2 KP 2 +F 2 +lf 2 
oder — — — • 
h Pi 
Liegt nun P 3 innerhalb der Strecke PjP 2 , so haben p l und p 2 
entgegengesetzte Zeichen; liegt hingegen P 3 ausserhalb dieser Strecke, 
so sind p l und p 2 gleichbezeichnet. Daher ist immer 
+ __ P1P3 
Ai P 3 P 2 ’ 
welches Verhältnis das Abstands Verhältnis des Puñetes P 3 von P, 
und P 2 genannt werden mag. 
Sind die Gleichungen der beiden Punkte Pj und P 2 nicht in der 
Normalform gegeben, so sei m l der Factor, welcher die Gleichung