§ 19. Das Gesetz der Reciprocität. 
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Dasselbe liefert zu jedem Satze, der eine reine Lagenbeziehung aus 
drückt, unmittelbar einen zweiten, welcher der duale oder reciproke 
Satz genannt wird. Dies Gesetz zeigt sich schon bei den elementar 
sten Betrachtungen in der Geometrie, wo allerdings seine ungemeine 
Wichtigkeit wegen der unmittelbaren Evidenz der reciproken Sätze 
nicht zu erfassen ist. So sind z. ß. die gegenüberstehenden Sätze : 
Eine Gerade und ein Punct aus 
serhalb derselben bestimmen 
eine Ebene. 
Zwei Ebenen bestimmen eine Ge 
rade.’ 
Drei Ebenen schneiden sich in 
einem Puncte 
Eine Gerade und eine Ebene aus 
serhalb derselben bestimmen 
einen Punct. 
Zwei Puncte bestimmen eine 
Gerade. 
Drei Puncte liegen in einer 
Ebene 
u. s. f. 
duale oder reciproke Sätze. 
Dieses Gesetz wollen wir nunmehr, soweit es die vorhergehenden 
Entwickelungen gestatten, auseinandersetzen. 
Denken wir uns eine Reihe von Gleichungen in Punct- und 
Ebenencoordinaten gegeben, so werden dieselben ein System von 
Puncten, Ebenen und Geraden im Raume bestimmen, deren Inbe 
griff wir als das System Z bezeichnen wollen. Diesem Systeme Z 
stellen wir ein zweites Z' gegenüber, dessen Elemente (Puncte, 
Ebenen und Geraden) wir dadurch erhalten, dass wir in dem ge 
gebenen Gleichungssysteme die laufenden Punct- durch Ebenen-Coor- 
dinaten und die laufenden Ebenen- durch Punct-Coordinaten er 
setzen. Somit tritt an Stelle jedes Punctes in Z eine Ebene in Z' 
und an Stelle jeder Ebene von Z ein Punct in Z'. Zwei solche 
Elemente der beiden Systeme Z und Z\ deren Gleichungen durch 
Vertauschung der Punct- und Ebenen-Coordinaten ineinander über 
gehen, mögen der Kürze halber entsprechende Elemente genannt 
werden. Liegt nun ein Punct A des einen Systems in einer Ebene 
b desselben, so geht die A entsprechende Ebene a im anderen Systeme 
durch den der Ebene b entsprechenden Punct JB' desselben. 
Denn ist mx -j- ny -j- pz -\- q — 0 
die Gleichung der Ebene b, und ist 
lu + r/v -f ^ + l = 0 
die Gleichung des Punctes A, so ist gernäfs Voraussetzung 
ml -f nrj -j- pt, -f g = 0. 
Die Gleichung des Punctes JB' ist nun 
mu -f- nv -f- pw -f- q — 0, 
und die der Ebene a