Viertes O api tel. 
§ 20. 
Die Gerade. 1 
Die Gerade lässt eine zweifache Bestimmungsweise zu: sie ist 
geometrisch bestimmt sowohl durch die Angabe zweier Ebenen, die 
sich in ihr schneiden, als auch zweier Puncte, die in ihr liegen. Sie 
kann demnach auch in zweifacher Weise analytisch dargestellt wer 
den: sowol durch ein System zweier linearen Gleichungen in Punct- 
als auch in Ebenen-Coordinaten. Denn die Puncte, deren Coordinaten 
zwei linearen Gleichungen in Punct-Coordinaten zugleich genügen, 
sind beiden Ebenen gemeinsam, die durch diese linearen Gleichungen 
repräsentiert werden, sind also die Puncte der Durchschuittsliuie der 
beiden Ebenen; und die Ebenen, deren Coordinaten zwei linearen 
Gleichungen in Ebenen-Coordinaten zugleich genügen, enthalten beide 
Puncte, die durch diese linearen Gleichungen repräsentiert werden, 
schneiden sich somit in der Verbindungslinie der beiden Puncte, oder 
umhüllen sie, wie man zu sagen pflegt. 
Sind nun etwa 
Ax -j- B y -}- Gz -f- D = 0, Ä'x -f- B'y -f- C'z -f- D' = 0 
die Gleichungen zweier Ebenen, so kann man ihre Schnittlinie durch 
das simultane System zweier anderen linearen Gleichungen ersetzen, 
die durch Specialisierung der Parameter A und X aus 
A (-¿4. x -|- J5 y -j- Gz -J- D) -(— A (V x -j- y -j- C z -j- D ) = 0 
hervorgehen, da alle diese Ebenen sich in derselben Geraden schnei 
den. Aus den durch Individualisirung von A und X hervorgehenden 
Gleichungen werden wir selbstverständlich zur Darstellung der Geraden 
zwei möglichst einfache wählen, also etwa zwei jener drei Gleichun 
gen, in welchen A und X Werthe besitzen, für welche der Coefficient 
einer der Variablen verschwindet. Diese drei Gleichungen werden 
somit erhalten, indem man den Werth des Verhältnisses A : A' aus 
je einer der drei Gleichungen: 
ÀA -j- XA — 0, Afl + O' = 0, ÀC-j- XC' = 0 
bestimmt. Die Gleichungen selbst haben dann die Form 
fx -j- gy -f- % = 0, mx -}- nz -f- p = 0, ry -f- sz -j- t — 0. 
In jeder dieser Gleichungen ist der einer Coordinate zugehörige 
Coefficient Null, somit stellt jede derselben eine durch die Gerade